Обратные тригонометрические функции

Чтобы решить уравнение

\(x^{2}=a, \ a=const\)

нужно к левой и правой части применить обратную функцию к квадрату - корень. А как же решать уравнение

\(\sin{x}=1\)?

Очевидно, что существует обратная функция и для синуса. Их называют обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями.

Арксинус.

Определение.

Арксинусом числа \(a\) называют такое число \(\varphi\) из отрезка \(\left[ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right]\), что \(\sin{\varphi} = a\) и обозначают \(\arcsin{a}\).

Из определения следует, что аргумент арксинуса \(a\) должен принадлежать отрезку \(\left[ -1; 1 \right]\), т.е. \(|a| \leq 1\).

Для арксинуса справедливо тождество:

\(\arcsin{\left( \sin{\varphi} \right)} = \varphi\).

Например, \(\arcsin{1} = \frac{\pi}{2}\). Действительно, \(\frac{\pi}{2} \in \left[ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right]\) и \(\sin{\frac{\pi}{2}} = 1\).

Арккосинус.

Определение.

Арккосинусом числа \(a\) называют такое число \(\varphi\) из отрезка \(\left[ 0 ; \pi \right]\), что \(\cos{\varphi} = a\) и обозначают \(\arccos{a}\).

Из определения следует, что аргумент арккосинуса \(a\) должен принадлежать отрезку \(\left[ -1; 1 \right]\), т.е. \(|a| \leq 1\).

Для арккосинуса справедливо тождество:

\(\arccos{\left( \cos{\varphi} \right)} = \varphi\).

Например, \(\arccos{1} = 0\). Действительно, \(0 \in \left[ 0; \pi \right]\) и \(\cos{0} = 1\).

Арктангенс.

Определение.

Арктангенсом числа \(a\) называют такое число \(\varphi\) из интервала \(\left( - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right)\), что \(\tg{\varphi} = a\) и обозначают \(\arctg{a}\).

Для арктангенса справедливо тождество:

\(\arctg{\left( \tg{\varphi} \right)} = \varphi\).

Например, \(\arctg{1} = \frac{\pi}{4}\). Действительно, \(\frac{\pi}{4} \in \left( - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right)\) и \(\tg{\frac{\pi}{4}} = 1\).

Арккотангенс.

Определение.

Арккотангенсом числа \(a\) называют такое число \(\varphi\) из интервала \(\left( 0 ; \pi \right)\), что \(\ctg{\varphi} = a\) и обозначают \(\arcctg{a}\).

Для арккотангенса справедливо тождество:

\(\arcctg{\left( \ctg{\varphi} \right)} = \varphi\).

Например, \(\arcctg{1} = \frac{\pi}{4}\). Действительно, \(\frac{\pi}{4} \in \left( 0; \pi \right)\) и \(\ctg{\frac{\pi}{4}} = 1\).

Таблица значений обратных тригонометрических функций.

Часто используемые тригонометрические значения представлены в таблице, которую вы можете скачать здесь  (18,3 KB).

Оставьте комментарий