Геометрические преобразования. Общий случай.

Перед вами пятая и заключительная статья из цикла "Геометрические преобразования графиков функций".

На практике редко бывает, что функция задаётся одним преобразованием. Например, функция

\(y=1-2\sin{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\cdot x\right)}\)

использует все геометрические преобразования. Строятся графики таких функций, используя преобразования по очереди, где важную роль играет порядок. Выпишем правильный порядок преобразований, а в скобках укажем условие, при котором это преобразование будет применяться.

  1. Отображение относительно оси \(Oy\) (\(k_{1} < 0\)).
  2. Растяжение по оси \(Ox\) (\(|k_{1}| \neq 1\)).
  3. Параллельный перенос по оси \(Ox\) (\(a \neq 0\)).
  4. Отображение относительно оси \(Ox\) (\(k_{2} < 0\)).
  5. Растяжение по оси \(Oy\) (\(|k_{2}| \neq 1\)).
  6. Параллельный перенос по оси \(Oy\) (\(b \neq 0\)).

Построим же теперь вышеуказанную функцию. Для начала преобразуем её в "канонический" вид:

\(y=k_2 f(k_1(x+a)) + b\).

Итак,

\(y=-2\sin{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\cdot x\right)}+1;\)

\(y=-2\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)\right)}+1.\)

Прообразом функции является функция \(y_0=\sin{x}\).

Далее, рассмотрим условия и сформируем список преобразований:

  1. \(k_{1}=-\frac{1}{3} < 0 \ \Rightarrow\) отображение относительно оси \(Oy \rightarrow y_1 = \sin{\left(-x\right)}\);
  2. \(|k_{1}|=\frac{1}{3} \neq 1 \ \Rightarrow\) растяжение по оси \(Ox\) в \(\frac{1}{3}\) раза \(\rightarrow y_2 = \sin{\left(-\frac{1}{3}\cdot x \right)}\);
  3. \(a = -\frac{3\pi}{4} \neq 0 \ \Rightarrow \) параллельный перенос по оси \(Ox\) вправо (\(a=-\frac{3\pi}{4} < 0\)) на \(\frac{3\pi}{4}\) единицы \(\rightarrow y_3 = \sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)\right)}\);
  4. \(k_{2}=-2 < 0 \ \Rightarrow\) отображение относительно оси \(Ox \rightarrow y_4 = -\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)\right)}\);
  5. \(|k_{2}|=2 \neq 1 \ \Rightarrow\) растяжение по оси \(Oy\) в \(2\) раза \(\rightarrow y_5 = -2\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)\right)}\);
  6. \(b = 1 \neq 0 \ \Rightarrow\) параллельный перенос по оси \(Oy\) вверх (\(b=1>0\)) на 1 единицу \(\rightarrow y\).

Итак, для начала построим график функции \(y_1 = \sin{\left(-x\right)}\), применив отображение относительно оси \(Oy\). Для этого каждой точке графика \(y_0\) сопоставим точку с тем же значением по оси \(Oy\), но в её абсциссе поставим знак «\(-\)», то есть точка \(\left(-\frac{\pi}{2};-1\right)\) перейдёт в точку \(\left(\frac{\pi}{2};-1\right)\), а точка \(\left(\frac{\pi}{2};1\right)\) -- в \(\left(-\frac{\pi}{2};1\right)\).

Геометрические преобразования. Общий случай. График 1.

 

Далее, построим график функции \(y_2 = \sin{\left(-\frac{1}{3}\cdot x\right)}\). Применим к \(y_1\) растяжение по оси \(Ox\) в \(\frac{1}{3}\) раз. Например, значение \(y=1\), соответствующее ранее абсциссе \(x=-\frac{\pi}{2}\), теперь соответствует абсциссе \(x=\frac{-\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{3}}=-\frac{3\pi}{2}\), то есть \(\left(-\frac{\pi}{2};1\right) \rightarrow \left(-\frac{3\pi}{2};1\right)\). Значение \(y=-1\), соответствующее ранее абсциссе \(x=\frac{\pi}{2}\), теперь соответствует абсциссе \(x=\frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{3\pi}{2}\), то есть \(\left(\frac{\pi}{2};-1\right) \rightarrow \left(\frac{3\pi}{2};-1\right)\).

Геометрические преобразования. Общий случай. График 2.

На следующем шаге применим к функции \(y_2\) параллельный перенос по оси \(Ox\) вправо на \(\frac{3\pi}{4}\). То есть каждую точку графика функции \(y_2\) сместим вправо на \(\frac{3\pi}{4}\) единицы. Например, точка \(\left(-\frac{3\pi}{2};1\right)\) сместиться в точку \(\left(-\frac{3\pi}{4};1\right)\), а точка \(\left(\frac{3\pi}{2};-1\right)\) - в точку \(\left(\frac{9\pi}{4};-1\right)\).

Геометрические преобразования. Общий случай. График 3.

Применим к графику \(y_3\) отображение относительно оси \(Ox\). Для этого каждой точке графика \(y_3\) сопоставим точку с тем же значением по оси \(Ox\), но в её ординате (\(y\)) поставим знак «\(-\)», то есть точка \(\left(-\frac{3\pi}{4};1\right)\) перейдёт в точку \(\left(-\frac{3\pi}{4};-1\right)\), а точка \(\left(\frac{9\pi}{4};-1\right)\) - в \(\left(\frac{9\pi}{4};1\right)\).

Геометрические преобразования. Общий случай. График 4.

На следующем шаге применим к функции \(y_4\) растяжение по оси \(Oy\) в \(2\) раза. Для этого значение функции \(y_4\) в каждой точке умножим на \(2\). Таким образом, точка \(\left(-\frac{3\pi}{4};-1\right)\) станет точкой \(\left(-\frac{3\pi}{4};-2\right)\), а точка \(\left(\frac{9\pi}{4};1\right)\) - точкой \(\left(\frac{9\pi}{4};2\right)\).

Геометрические преобразования. Общий случай. График 5.

И, наконец, применив параллельный перенос по оси \(Oy\) на \(1\) единицу вверх (точка \(\left(-\frac{3\pi}{4};-2\right)\) станет точкой \(\left(-\frac{3\pi}{4};-1\right)\), а точка \(\left(\frac{9\pi}{4};2\right)\) - точкой \(\left(\frac{9\pi}{4};3\right)\)), мы построим график функции \(y=-2\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)\right)} + 1\).

Геометрические преобразования. Общий случай. График 6.

Итак, график функции

\(y=1-2\sin{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\cdot x\right)}\)

изображён на нижеследующем рисунке.

Геометрические преобразования. Общий случай. График 7.

Оставьте комментарий