Геометрические преобразования. Общий случай.

Перед вами пятая и заключительная статья из цикла "Геометрические преобразования графиков функций".

На практике редко бывает, что функция задаётся одним преобразованием. Например, функция

y=1-2\sin{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\cdot x\right)}

использует все геометрические преобразования. Строятся графики таких функций, используя преобразования по очереди, где важную роль играет порядок. Выпишем правильный порядок преобразований, а в скобках укажем условие, при котором это преобразование будет применяться.

  1. Отображение относительно оси Oy (k_{1} < 0).
  2. Растяжение по оси Ox (|k_{1}| \neq 1).
  3. Параллельный перенос по оси Ox (a \neq 0).
  4. Отображение относительно оси Ox (k_{2} < 0).
  5. Растяжение по оси Oy (|k_{2}| \neq 1).
  6. Параллельный перенос по оси Oy (b \neq 0).

Построим же теперь вышеуказанную функцию. Для начала преобразуем её в "канонический" вид:

y=k_2 f(k_1(x+a)) + b.

Итак,

y=-2\sin{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\cdot x\right)}+1;

y=-2\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)\right)}+1.

Прообразом функции является функция y_0=\sin{x}.

Далее, рассмотрим условия и сформируем список преобразований:

  1. k_{1}=-\frac{1}{3} < 0 \ \Rightarrow отображение относительно оси Oy \rightarrow y_1 = \sin{\left(-x\right)};
  2. |k_{1}|=\frac{1}{3} \neq 1 \ \Rightarrow растяжение по оси Ox в \frac{1}{3} раза \rightarrow y_2 = \sin{\left(-\frac{1}{3}\cdot x \right)};
  3. a = -\frac{3\pi}{4} \neq 0 \ \Rightarrow параллельный перенос по оси Ox вправо (a=-\frac{3\pi}{4} < 0) на \frac{3\pi}{4} единицы \rightarrow y_3 = \sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)\right)};
  4. k_{2}=-2 < 0 \ \Rightarrow отображение относительно оси Ox \rightarrow y_4 = -\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)\right)};
  5. |k_{2}|=2 \neq 1 \ \Rightarrow растяжение по оси Oy в 2 раза \rightarrow y_5 = -2\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)\right)};
  6. b = 1 \neq 0 \ \Rightarrow параллельный перенос по оси Oy вверх (b=1>0) на 1 единицу \rightarrow y.

Итак, для начала построим график функции y_1 = \sin{\left(-x\right)}, применив отображение относительно оси Oy. Для этого каждой точке графика y_0 сопоставим точку с тем же значением по оси Oy, но в её абсциссе поставим знак «-», то есть точка \left(-\frac{\pi}{2};-1\right) перейдёт в точку \left(\frac{\pi}{2};-1\right), а точка \left(\frac{\pi}{2};1\right) -- в \left(-\frac{\pi}{2};1\right).

Геометрические преобразования. Общий случай. График 1.

 

Далее, построим график функции y_2 = \sin{\left(-\frac{1}{3}\cdot x\right)}. Применим к y_1 растяжение по оси Ox в \frac{1}{3} раз. Например, значение y=1, соответствующее ранее абсциссе x=-\frac{\pi}{2}, теперь соответствует абсциссе x=\frac{-\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{3}}=-\frac{3\pi}{2}, то есть \left(-\frac{\pi}{2};1\right) \rightarrow \left(-\frac{3\pi}{2};1\right). Значение y=-1, соответствующее ранее абсциссе x=\frac{\pi}{2}, теперь соответствует абсциссе x=\frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{3\pi}{2}, то есть \left(\frac{\pi}{2};-1\right) \rightarrow \left(\frac{3\pi}{2};-1\right).

Геометрические преобразования. Общий случай. График 2.

На следующем шаге применим к функции y_2 параллельный перенос по оси Ox вправо на \frac{3\pi}{4}. То есть каждую точку графика функции y_2 сместим вправо на \frac{3\pi}{4} единицы. Например, точка \left(-\frac{3\pi}{2};1\right) сместиться в точку \left(-\frac{3\pi}{4};1\right), а точка \left(\frac{3\pi}{2};-1\right) - в точку \left(\frac{9\pi}{4};-1\right).

Геометрические преобразования. Общий случай. График 3.

Применим к графику y_3 отображение относительно оси Ox. Для этого каждой точке графика y_3 сопоставим точку с тем же значением по оси Ox, но в её ординате (y) поставим знак «-», то есть точка \left(-\frac{3\pi}{4};1\right) перейдёт в точку \left(-\frac{3\pi}{4};-1\right), а точка \left(\frac{9\pi}{4};-1\right) - в \left(\frac{9\pi}{4};1\right).

Геометрические преобразования. Общий случай. График 4.

На следующем шаге применим к функции y_4 растяжение по оси Oy в 2 раза. Для этого значение функции y_4 в каждой точке умножим на 2. Таким образом, точка \left(-\frac{3\pi}{4};-1\right) станет точкой \left(-\frac{3\pi}{4};-2\right), а точка \left(\frac{9\pi}{4};1\right) - точкой \left(\frac{9\pi}{4};2\right).

Геометрические преобразования. Общий случай. График 5.

И, наконец, применив параллельный перенос по оси Oy на 1 единицу вверх (точка \left(-\frac{3\pi}{4};-2\right) станет точкой \left(-\frac{3\pi}{4};-1\right), а точка \left(\frac{9\pi}{4};2\right) - точкой \left(\frac{9\pi}{4};3\right)), мы построим график функции y=-2\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)\right)} + 1.

Геометрические преобразования. Общий случай. График 6.

Итак, график функции

y=1-2\sin{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\cdot x\right)}

изображён на нижеследующем рисунке.

Геометрические преобразования. Общий случай. График 7.

Оставьте комментарий