Параллельные переносы по координатным осям

Перед вами вторая статья из цикла "Геометрические преобразования графиков функций".

1. Параллельный перенос по оси Ox на |a| единиц.

Правило:

Чтобы построить график функции y=f(x + a), необходимо каждую точку графика функции y=f(x) сместить влево (если a>0) или вправо (если a<0) по оси Ox на |a| единиц.

Рассмотрим это преобразование на примерах.

1. y=(x+4)^2

Прообразом этой функции будет y_0=x^2.

a=4>0 \Rightarrow происходит параллельный перенос на 4 единицы влево.

Рассмотрим ключевые точки функции: (-1;1), \ (0;0), \ (1;1). Координата по x каждой точки смещается на 4 влево. То есть, наши ключевые точки переходят в точки (-5;1), \ (-4;0), \ (-3;1).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Ох. Пример 1.

2. y=\sqrt{x-3}

Прообразом этой функции будет y_0=\sqrt{x}.

a=-3<0 \Rightarrow происходит параллельный перенос на 3 единицы вправо.

Рассмотрим ключевые точки функции: (0;0), \ (1;1), \ (4;2). Координата по x каждой точки смещается на 3 вправо. То есть, наши ключевые точки переходят в точки (3;0), \ (4;1), \ (7;2).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Ох. Пример 2.

3. y=\sin{x-\frac{\pi}{4}}

Прообразом этой функции будет y_0=\sin{x}.

a=-\frac{\pi}{4}<0 \Rightarrow происходит параллельный перенос на \frac{\pi}{4} единицы вправо.

Рассмотрим ключевые точки функции:

(-2\pi; 0), \ \left(-\frac{3\pi}{2}; 1\right), \ (-\pi;0), \left(-\frac{\pi}{2}; -1\right), \ (0;0), \ \left(\frac{\pi}{2}; 1\right), \ (\pi; 0), \ \left(\frac{3\pi}{2}; -1\right), \ (2\pi; 0)

Координата по x каждой точки смещается на \frac{\pi}{4} вправо. То есть, наши ключевые точки переходят в точки

(-\frac{7\pi}{4}; 0), \ \left(-\frac{5\pi}{4}; 1\right), \ \left(-\frac{3\pi}{4};0\right), \left(-\frac{\pi}{4}; -1\right), \ \left(\frac{\pi}{4};0\right), \ \left(\frac{3\pi}{4}; 1\right), \ \left(\frac{5\pi}{4}; 0\right), \ \left(\frac{7\pi}{4}; -1\right), \ \left(\frac{9\pi}{4}; 0\right).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Ох. Пример 3.

2. Параллельный перенос по оси Oy на |b| единиц.

Правило:

Чтобы построить график функции y=f(x) + b, необходимо каждую точку графика функции y=f(x) поднять вверх (еслиb>0) или опустить вниз (если b<0) по оси Oy на |b| единиц.

Рассмотрим это преобразование на примерах.

1. y=x^2-3

Прообразом этой функции будет y_0=x^2.

b=-3<0 \Rightarrow происходит параллельный перенос на 3 единицы вниз.

Рассмотрим ключевые точки функции: (-1;1), \ (0;0), \ (1;1). Координата по y каждой точки смещается на 3 вниз. То есть, наши ключевые точки переходят в точки (-1;-2), \ (0;-3), \ (1;-2).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Оy. Пример 1.

2. y=\sqrt{x}+2

Прообразом этой функции будет y_0=\sqrt{x}.

b=2>0 \Rightarrow происходит параллельный перенос на 2 единицы вверх.

Рассмотрим ключевые точки функции: (0;0), \ (1;1), \ (4;2). Координата по y каждой точки смещается на 2 вверх. То есть, наши ключевые точки переходят в точки (0;2), \ (1;3), \ (4;4).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Оy. Пример 2.

3. y=\sin{x}+1

Прообразом этой функции будет y_0=\sin{x}.

b=1>0 \Rightarrow происходит параллельный перенос на 1 единицу вверх.

Рассмотрим ключевые точки функции:

(-2\pi; 0), \ \left(-\frac{3\pi}{2}; 1\right), \ (-\pi;0), \left(-\frac{\pi}{2}; -1\right), \ (0;0), \ \left(\frac{\pi}{2}; 1\right), \ (\pi; 0), \ \left(\frac{3\pi}{2}; -1\right), \ (2\pi; 0)

Координата по y каждой точки смещается на 1 вверх. То есть, наши ключевые точки переходят в точки

(-2\pi; 1), \ \left(-\frac{3\pi}{2}; 2\right), \ (-\pi;1), \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right), \ (0;1), \ \left(\frac{\pi}{2}; 2\right), \ (\pi; 1), \ \left(\frac{3\pi}{2}; 0\right), \ (2\pi; 1).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Оy. Пример 3.

Оставьте комментарий