Понятие о тригонометрическом уравнении. Простейшие тригонометрические уравнения.

Понятие о тригонометрическом уравнении.

Определение.

Уравнение называется тригонометрическим, если в нём содержится любая тригонометрическая функция.

Например, уравнения \(\sin{x} - 1 = 0\), \(1-2\cos{x}=4\) и \(\sqrt{3}\sin{x}-2\cos{x}=0\) тригонометрические, а \(2-x=0\) - нет.

Существуют 2 основных способа решения тригонометрических уравнений:

  • графический способ, который заключается в том, что строятся графики левой и правой части уравнения и ищутся точки их пересечения;
  • аналитический способ, суть которого заключается в применении специальных формул.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Определение.

Под простейшими тригонометрическими уравнениями мы будем понимать тригонометрические уравнения, в левую часть которых входит только либо синус, либо косинус, а в правую - одно из чисел: \(-1; \ 0; \ 1\).

Решим несколько простейших тригонометрических уравнений.

1. \(\sin{x} = 1\)

Начертим два графика: \(y=\sin{x}\) и \(y=1\)

Видим, что количество точек пересечения достаточно велико, а, значит, необходимо выявить закономерность. Так как тригонометрические функции являются периодическими, то все точки, попавшие на 1-ый положительный период, будут периодически повторятся. Рассмотрим решения, попавшие на 1-ый период:

 

Это только одна точка: \(\frac{\pi}{2}\). Периодом синуса является \(2\pi\), так что получаем ответ:

\(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}\).

2. \(\cos{x} = 0\)

Начертим два графика: \(y=\cos{x}\) и \(y=0\)

Видим, что количество точек пересечения достаточно велико, а, значит, необходимо выявить закономерность. Так как тригонометрические функции являются периодическими, то все точки, попавшие на 1-ый положительный период, будут периодически повторятся. Рассмотрим решения, попавшие на 1-ый период:

Видим, что получается 2 решения, попадающих «на период»: \(x_{1}=\frac{\pi}{2}\) и \(x_{2}=\frac{3\pi}{2}\).

Замечание.

Две точки решения получаются только у функций синус и косинус. Так как тангенс и котангенс монотонные (и на периоде в том числе), то они имеют лишь только одну точку пересечения с прямой \(y=a\).

Получены два решения:

\(\left\{ \begin{array}{c} x_{1} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \\ x_{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \end{array} \right. \)

которые можно попытаться объединить в одно.

Замечание.

Не все решения можно объединить в одно. Если это невозможно, то в ответ выписываются 2 решения.

Проверим расстояние между всеми точками (обычно достаточно проверить расстояние между 4 точками), чтобы убедиться, что объединение возможно. Несложно увидеть, что в нашем случае оно всегда равно \(\pi\). Тогда наши решения объединяются в одно и мы получаем ответ:

\(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}\)

 

Таблица решений простейших тригонометрических уравнений.

УравнениеФункция \(f(x)=, \ n \in \mathbb{Z}\)
\(\sin{x}\)\(\cos{x}\)
\(f(x)=1\)\(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\)\(x =2\pi n\)
\(f(x)=0\)\(x = \pi n\)\(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\)
\(f(x)=-1\)\(x = - \frac{\pi}{2} + 2\pi n\)\(x = \pi + 2\pi n\)

Оставьте комментарий