Растяжение графика функции по координатным осям

Перед вами третья статья из цикла "Геометрические преобразования графиков функций".

1. Растяжение в |k_1| раз по оси Ox.

Правило:

Чтобы построить график функции y=f(|k_{1}|x), необходимо каждому значению функции y=f(x), вычисленному в точке с абсциссой x_{0}, сопоставить абсциссу \frac{x_{0}}{|k_{1}|}.

Рассмотрим это преобразование на примерах.

1. y=\sqrt{2x}

Прообразом этой функции будет y_0=\sqrt{x}.

|k_1|=2 \neq 1 \Rightarrow происходит растяжение в 2 раза по оси Ox.

Рассмотрим ключевые точки функции: (0;0), \ (1;1), \ (4;2).

Сопоставим значению прообраза в каждой ключевой координате абсциссу \frac{x_0}{2}, то есть:

(0;0) \rightarrow x=\frac{0}{2}=0; y=0 \rightarrow (0;0);

(1;1) \rightarrow x=\frac{1}{2}=0,5; y=1 \rightarrow (0,5;1);

(4;2) \rightarrow x=\frac{4}{2}=2; y=2 \rightarrow (2;2).

 То есть, наши ключевые точки переходят в точки (0;0), \ (0,5;1), \ (2;2).

Геометрические преобразования. Растяжение по Оx. Пример 1.

 

2. y=\cos{4x}

Прообразом этой функции будет y_0=\cos{x}.

|k_1|=4 \neq 1 \Rightarrow происходит растяжение в 4 раза по оси Ox.

Рассмотрим ключевые точки функции (возьмём ключевые точки первого положительного оборота):

(0;1), \ \left(\frac{\pi}{2}; 0\right), \ (\pi;-1), \ \left(\frac{3\pi}{2}; 0\right), \ (2\pi; 1).

Сопоставим значению прообраза в каждой ключевой координате абсциссу \frac{x_0}{2}, то есть:

(0;1) \rightarrow x=\frac{0}{4}=0; y=1 \rightarrow (0;1);

\left(\frac{\pi}{2};0\right) \rightarrow x=\frac{\frac{\pi}{2}}{4}=\frac{\pi}{8}; y=0 \rightarrow \left(\frac{\pi}{8};0\right);

\left(\pi;-1\right) \rightarrow x=\frac{\pi}{4}; y=-1 \rightarrow \left(\frac{\pi}{4};-1\right);

\left(\frac{3\pi}{2};0\right) \rightarrow x=\frac{\frac{3\pi}{2}}{4}=\frac{3\pi}{8}; y=0 \rightarrow \left(\frac{3\pi}{8};0\right);

\left(2\pi;1\right) \rightarrow x=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}; y=1 \rightarrow \left(\frac{\pi}{2};1\right).

Таким образом, нашими ключевыми точками становятся точки: (0;1), \ \left(\frac{\pi}{8};0\right), \ \left(\frac{\pi}{4};-1\right), \ \frac{3\pi}{8} \rightarrow \left(\frac{3\pi}{8};0\right), \ \left(\frac{\pi}{2};1\right).

Геометрические преобразования. Растяжение по Оx. Пример 2.

2. Растяжение в |k_2| раз по оси Oy.

Правило:

Чтобы построить график функции y=|k_{2}|f(x), необходимо значение функции y=f(x) в каждой точке умножить на  |k_{2}| единиц.

Рассмотрим это преобразование на примерах.

1. y=2x^2

Прообразом этой функции будет y_0=x^2.

|k_2|=2 \neq 1 \Rightarrow происходит растяжение в 2 раза по оси Oy.

Рассмотрим ключевые точки функции: (-1;1), \ (0;0), \ (1;1).

Значение функции в каждой этой точке умножается на 2, то есть:

(-1;1) \rightarrow x=-1; y=2 \cdot 1 = 2 \rightarrow (-1;2);

(0;0) \rightarrow x=0; y=2 \cdot 0 = 0 \rightarrow (0;0);

(1;1) \rightarrow x=1; y=2 \cdot 1 = 2 \rightarrow (1;2).

Итак, имеем: (-1;2), \ (0;0), \ (1;2).

Геометрические преобразования. Растяжение по Оy. Пример 1.

2. y=0,5\sqrt{x}

Прообразом этой функции будет y_0=\sqrt{x}.

|k_2|=0,5 \neq 1 \Rightarrow происходит растяжение в 0,5 раза по оси Oy.

Рассмотрим ключевые точки функции: (0;0), \ (1;1), \ (4;2).

Значение функции в каждой этой точке умножается на 0,5, то есть:

(0;0) \rightarrow x=0; y=0,5 \cdot 0 = 0 \rightarrow (0;0);

(1;1) \rightarrow x=1; y=0,5 \cdot 1 = 0,5 \rightarrow (1;0,5);

(4;2) \rightarrow x=4; y=0,5 \cdot 2 = 1 \rightarrow (4;1).

Итак, имеем:

(0;0), \ (1;0,5), \ (4;1).

Геометрические преобразования. Растяжение по Оy. Пример 2.

3. y=3\sin{x}

Прообразом этой функции будет y_0=\sin{x}.

|k_2|=3 \neq 1 \Rightarrow происходит растяжение в 3 раза по оси Oy.

Рассмотрим ключевые точки функции (возьмём ключевые точки первого положительного оборота):

(0;0), \ \left(\frac{\pi}{2}; 1\right), \ (\pi; 0), \ \left(\frac{3\pi}{2}; -1\right), \ (2\pi; 0)

Значение функции в каждой этой точке умножается на 3, то есть:

(0;0) \rightarrow x=0; y=3 \cdot 0 = 0 \rightarrow (0;0);

\left(\frac{\pi}{2}; 1\right) \rightarrow x=\frac{\pi}{2}; y=3 \cdot 1 = 3 \rightarrow \left(\frac{\pi}{2}; 3\right);

\left(\pi; 0\right) \rightarrow x=\pi; y=3 \cdot 0 = 0 \rightarrow \left(\pi; 0\right);

\left(\frac{3\pi}{2}; -1\right) \rightarrow x=\frac{3\pi}{2}; y=3 \cdot (-1) = -3 \rightarrow \left(\frac{3\pi}{2}; -3\right);

\left(2\pi; 0\right) \rightarrow x=2\pi; y=3 \cdot 0 = 0 \rightarrow \left(2\pi; 0\right).

Итак, имеем:

(0;0), \ \left(\frac{\pi}{2}; 3\right), \ (\pi; 0), \ \left(\frac{3\pi}{2}; -3\right), \ (2\pi; 0)

Геометрические преобразования. Растяжение по Оy. Пример 3.

Замечание:

Как вы уже наверное отметили, при растяжении по оси Oy есть точки, которые не меняются. Те точки, в которых y=0. Это свойство удобно применять при построении тригонометрических (и любых других периодических) функций.

Оставьте комментарий