Обратные тригонометрические функции

Чтобы решить уравнение

$x^{2}=a, \ a=const$

нужно к левой и правой части применить обратную функцию к квадрату – корень. А как же решать уравнение

$\sin{x}=1$?

Очевидно, что существует обратная функция и для синуса. Их называют обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями.

Арксинус.

Определение.

Арксинусом числа $a$ называют такое число $\varphi$ из отрезка $\left[ – \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right]$, что $\sin{\varphi} = a$ и обозначают $\arcsin{a}$.

Из определения следует, что аргумент арксинуса $a$ должен принадлежать отрезку $\left[ -1; 1 \right]$, т.е. $|a| \leq 1$.

Для арксинуса справедливо тождество:

$\arcsin{\left( \sin{\varphi} \right)} = \varphi$.

Например, $\arcsin{1} = \frac{\pi}{2}$. Действительно, $\frac{\pi}{2} \in \left[ – \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right]$ и $\sin{\frac{\pi}{2}} = 1$.

Арккосинус.

Определение.

Арккосинусом числа $a$ называют такое число $\varphi$ из отрезка $\left[ 0 ; \pi \right]$, что $\cos{\varphi} = a$ и обозначают $\arccos{a}$.

Из определения следует, что аргумент арккосинуса $a$ должен принадлежать отрезку $\left[ -1; 1 \right]$, т.е. $|a| \leq 1$.

Для арккосинуса справедливо тождество:

$\arccos{\left( \cos{\varphi} \right)} = \varphi$.

Например, $\arccos{1} = 0$. Действительно, $0 \in \left[ 0; \pi \right]$ и $\cos{0} = 1$.

Арктангенс.

Определение.

Арктангенсом числа $a$ называют такое число $\varphi$ из интервала $\left( – \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right)$, что $\tg{\varphi} = a$ и обозначают $\arctg{a}$.

Для арктангенса справедливо тождество:

$\arctg{\left( \tg{\varphi} \right)} = \varphi$.

Например, $\arctg{1} = \frac{\pi}{4}$. Действительно, $\frac{\pi}{4} \in \left( – \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right)$ и $\tg{\frac{\pi}{4}} = 1$.

Арккотангенс.

Определение.

Арккотангенсом числа $a$ называют такое число $\varphi$ из интервала $\left( 0 ; \pi \right)$, что $\ctg{\varphi} = a$ и обозначают $\arcctg{a}$.

Для арккотангенса справедливо тождество:

$\arcctg{\left( \ctg{\varphi} \right)} = \varphi$.

Например, $\arcctg{1} = \frac{\pi}{4}$. Действительно, $\frac{\pi}{4} \in \left( 0; \pi \right)$ и $\ctg{\frac{\pi}{4}} = 1$.

Таблица значений обратных тригонометрических функций.

Часто используемые тригонометрические значения представлены в таблице, которую вы можете скачать здесь  (18,3 KB).