Основные элементарные функции и их графики

Перед вами первая статья из цикла “Геометрические преобразования графиков функций“.

Набор функций, которые мы можем построить достаточно невелик. Однако, большинство функций строятся с помощью четырёх арифметических операций и суперпозиций (или, по-другому, комбинаций) основных элементарных функций.

К числу основных элементарных функций относятся:

1. Прямая задаётся уравнением $y=x$ и её график имеет вид:

График прямой

Ключевые точки: $(0;0), \ (1;1)$

2. Гипербола (или обратная пропорциональность) задаётся уравнением $y=\frac{1}{x}$ и её график имеет вид:

Гипербола или обратная пропорциональность

Асимптоты: $x=0, \ y=0$

Ключевые точки: $(-1;1), \ (1;1)$

3. Парабола задаётся уравнением $y=x^2$ и её график имеет вид:

Парабола

Ключевые точки: $(-1;1), \ (0;0), \ (1;1)$

4. Кубическая парабола задаётся уравнением $y=x^3$ и её график имеет вид:

Кубическая парабола

Ключевые точки: $(-1;-1), \ (0;0), \ (1;1)$

5. Коренная функция задаётся уравнением $y=\sqrt{x}$ и её график имеет вид:

 

Коренная функция

Ключевые точки: $(0;0), \ (1;1), \ (4;2)$

6. Показательная функция задаётся уравнением $y=a^{x}, \ a > 0, \ a \neq 1$ и её график имеет вид:

a>1
a>1
0<a<1
0<a<1

Ключевые точки: $\left(-1;\frac{1}{a}\right), \ (0;1), \ (1;a)$

6*. Экспонента (показательная функция с основанием e) задаётся уравнением $y=e^{x}$ и её график имеет вид:

Экспонента

Ключевые точки: $\left(-1;\frac{1}{e}\right), \ (0;1), \ (1;e)$

7. Логарифмическая функция задаётся уравнением $y=\log_{a}{x}, \ a > 0, \ a \neq 1$ и её график имеет вид:

a>1
a>1
0<x<1
0<x<1

Ключевые точки: $\left(\frac{1}{a}\right); -1), \ (0;1), \ (a;1)$

7*. Десятичный логарифм задаётся уравнением $y=\lg{x}$ и её график имеет вид:

Десятичный логарифм

Ключевые точки: $(0,1; -1), \ (0;1), \ (10;1)$

7**. Натуральный логарифм задаётся уравнением $y=\ln{x}$ и её график имеет вид:

Натуральный логарифм

Ключевые точки: $\left(\frac{1}{e}; -1\right), \ (0;1), \ (e;1)$

8. Тригонометрические функции задаются уравнением $y=\sin{x}, \ y=\cos{x}, \ y={\rm tg}{x}, \ y={\rm ctg}{x}$ и их графики имеют вид:

Синус
Синус

Ключевые точки: $(-2\pi; 0), \ \left(-\frac{3\pi}{2}; 1\right), \ (-\pi;0), $

$\left(-\frac{\pi}{2}; -1\right), \ (0;0), \ \left(\frac{\pi}{2}; 1\right), \ (\pi; 0), \ \left(\frac{3\pi}{2}; -1\right), \ (2\pi; 0)$

Косинус
Косинус

Ключевые точки: $(-2\pi; 1), \ \left(-\frac{3\pi}{2}; 0\right), \ (-\pi;-1), $

$\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right), \ (0;1), \ \left(\frac{\pi}{2}; 0\right), \ (\pi;-1), \ \left(\frac{3\pi}{2}; 0\right), \ (2\pi; 1)$

Тангенс
Тангенс

Асимптоты: $x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z$

Ключевые точки: $(-2\pi ;0), \ (-\pi ;0), \ (0;0), \ (\pi ;0), \ (2\pi ;0)$

Котангенс
Котангенс

Асимптоты: $x=\pi n, n \in Z$

Ключевые точки: $\left(-\frac{3\pi}{2}; 0\right), \ \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right), \ \left(\frac{\pi}{2}; 0\right), \ \left(\frac{3\pi}{2}; 0\right)$

9. Обратные тригонометрические функции задаются уравнением $y=\arcsin{x}, \ y=\arccos{x}, \ y={\rm arctg}{x}, \ y={\rm arcctg}{x}$ и её график имеет вид:

Арксинус
Арксинус
Арккосинус
Арккосинус
Арктангенс
Арктангенс
Арккотангенс
Арккотангенс