Геометрические преобразования. Общий случай.

Перед вами пятая и заключительная статья из цикла “Геометрические преобразования графиков функций“.

На практике редко бывает, что функция задаётся одним преобразованием. Например, функция

$y=1-2\sin{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\cdot x\right)}$

использует все геометрические преобразования. Строятся графики таких функций, используя преобразования по очереди, где важную роль играет порядок. Выпишем правильный порядок преобразований, а в скобках укажем условие, при котором это преобразование будет применяться.

  1. Отображение относительно оси $Oy$ ($k_{1} < 0$).
  2. Растяжение по оси $Ox$ ($|k_{1}| \neq 1$).
  3. Параллельный перенос по оси $Ox$ ($a \neq 0$).
  4. Отображение относительно оси $Ox$ ($k_{2} < 0$).
  5. Растяжение по оси $Oy$ ($|k_{2}| \neq 1$).
  6. Параллельный перенос по оси $Oy$ ($b \neq 0$).

Построим же теперь вышеуказанную функцию. Для начала преобразуем её в “канонический” вид:

$y=k_2 f(k_1(x+a)) + b$.

Итак,

$y=-2\sin{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\cdot x\right)}+1;$

$y=-2\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)\right)}+1.$

Прообразом функции является функция $y_0=\sin{x}$.

Далее, рассмотрим условия и сформируем список преобразований:

  1. $k_{1}=-\frac{1}{3} < 0 \ \Rightarrow$ отображение относительно оси $Oy \rightarrow y_1 = \sin{\left(-x\right)}$;
  2. $|k_{1}|=\frac{1}{3} \neq 1 \ \Rightarrow$ растяжение по оси $Ox$ в $\frac{1}{3}$ раза $\rightarrow y_2 = \sin{\left(-\frac{1}{3}\cdot x \right)}$;
  3. $a = -\frac{3\pi}{4} \neq 0 \ \Rightarrow $ параллельный перенос по оси $Ox$ вправо ($a=-\frac{3\pi}{4} < 0$) на $\frac{3\pi}{4}$ единицы $\rightarrow y_3 = \sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x – \frac{3\pi}{4}\right)\right)}$;
  4. $k_{2}=-2 < 0 \ \Rightarrow$ отображение относительно оси $Ox \rightarrow y_4 = -\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x – \frac{3\pi}{4}\right)\right)}$;
  5. $|k_{2}|=2 \neq 1 \ \Rightarrow$ растяжение по оси $Oy$ в $2$ раза $\rightarrow y_5 = -2\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x – \frac{3\pi}{4}\right)\right)}$;
  6. $b = 1 \neq 0 \ \Rightarrow$ параллельный перенос по оси $Oy$ вверх ($b=1>0$) на 1 единицу $\rightarrow y$.

Итак, для начала построим график функции $y_1 = \sin{\left(-x\right)}$, применив отображение относительно оси $Oy$. Для этого каждой точке графика $y_0$ сопоставим точку с тем же значением по оси $Oy$, но в её абсциссе поставим знак «$-$», то есть точка $\left(-\frac{\pi}{2};-1\right)$ перейдёт в точку $\left(\frac{\pi}{2};-1\right)$, а точка $\left(\frac{\pi}{2};1\right)$ — в $\left(-\frac{\pi}{2};1\right)$.

Геометрические преобразования. Общий случай. График 1.

 

Далее, построим график функции $y_2 = \sin{\left(-\frac{1}{3}\cdot x\right)}$. Применим к $y_1$ растяжение по оси $Ox$ в $\frac{1}{3}$ раз. Например, значение $y=1$, соответствующее ранее абсциссе $x=-\frac{\pi}{2}$, теперь соответствует абсциссе $x=\frac{-\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{3}}=-\frac{3\pi}{2}$, то есть $\left(-\frac{\pi}{2};1\right) \rightarrow \left(-\frac{3\pi}{2};1\right)$. Значение $y=-1$, соответствующее ранее абсциссе $x=\frac{\pi}{2}$, теперь соответствует абсциссе $x=\frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{3\pi}{2}$, то есть $\left(\frac{\pi}{2};-1\right) \rightarrow \left(\frac{3\pi}{2};-1\right)$.

Геометрические преобразования. Общий случай. График 2.

На следующем шаге применим к функции $y_2$ параллельный перенос по оси $Ox$ вправо на $\frac{3\pi}{4}$. То есть каждую точку графика функции $y_2$ сместим вправо на $\frac{3\pi}{4}$ единицы. Например, точка $\left(-\frac{3\pi}{2};1\right)$ сместиться в точку $\left(-\frac{3\pi}{4};1\right)$, а точка $\left(\frac{3\pi}{2};-1\right)$ – в точку $\left(\frac{9\pi}{4};-1\right)$.

Геометрические преобразования. Общий случай. График 3.

Применим к графику $y_3$ отображение относительно оси $Ox$. Для этого каждой точке графика $y_3$ сопоставим точку с тем же значением по оси $Ox$, но в её ординате ($y$) поставим знак «$-$», то есть точка $\left(-\frac{3\pi}{4};1\right)$ перейдёт в точку $\left(-\frac{3\pi}{4};-1\right)$, а точка $\left(\frac{9\pi}{4};-1\right)$ – в $\left(\frac{9\pi}{4};1\right)$.

Геометрические преобразования. Общий случай. График 4.

На следующем шаге применим к функции $y_4$ растяжение по оси $Oy$ в $2$ раза. Для этого значение функции $y_4$ в каждой точке умножим на $2$. Таким образом, точка $\left(-\frac{3\pi}{4};-1\right)$ станет точкой $\left(-\frac{3\pi}{4};-2\right)$, а точка $\left(\frac{9\pi}{4};1\right)$ – точкой $\left(\frac{9\pi}{4};2\right)$.

Геометрические преобразования. Общий случай. График 5.

И, наконец, применив параллельный перенос по оси $Oy$ на $1$ единицу вверх (точка $\left(-\frac{3\pi}{4};-2\right)$ станет точкой $\left(-\frac{3\pi}{4};-1\right)$, а точка $\left(\frac{9\pi}{4};2\right)$ – точкой $\left(\frac{9\pi}{4};3\right)$), мы построим график функции $y=-2\sin{\left(-\frac{1}{3}\left(x – \frac{3\pi}{4}\right)\right)} + 1$.

Геометрические преобразования. Общий случай. График 6.

Итак, график функции

$y=1-2\sin{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\cdot x\right)}$

изображён на нижеследующем рисунке.

Геометрические преобразования. Общий случай. График 7.