Логарифм и его свойства

Понятие о логарифме.

При решении показательных уравнений, мы старались привести показательные функции к одному основанию. А что делать, если, например, правая часть не представима в виде степени с основанием, стоящим в левой части? Например, как решить уравнение $2^{x}=5$? Ведь $5$ не представима в виде степени $2$-ки! Тут на помощь приходит логарифм.

Пусть $a>0$, $a \neq 1$ и $b>0$.

Определение 1: Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется показатель степени, в которую нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Определение 2: Число, выражение или функция $b$ называется подлогарифмическим числом, выражением или функцией.

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ обозначается $\log_{a}{b}$ и читается: ”логарифм числа $b$ по основанию $a$” или иногда: ”логарифм $b$ по $a$”.

Согласно определению, $\log_{2}{4}=2$, так как $2^{2}=4$. Ответом на наш загадочный пример $2^{x}=5$ будет $x=\log\limits_{2}{5}$.

Наглядно определение может выглядеть как показано на следующем рисунке:

Наглядное представление логарифма
Наглядное представление логарифма или связь с показательным уравнением

Из определения сразу следует следующая теорема.

Теорема (Основное свойство логарифма): Если $b>0$, $a>0$, $a \neq 1$, то

$a^{\log_{a}{b}} = b$

 

Основные свойства логарифмов.

При решении задач на практике иногда требуется формула перехода из одного основания к другому. Например, такой логарифм: $\log_{4}{2}$ проще найти, если перейти от основания $4$ к основанию $2$.

Формула перехода от основания $a$ к основанию $b$: Пусть $a>0, \ a \neq 1, \ b>0, \ b \neq 1$ и $x>0$, тогда формула перехода от основания $a$ к основанию $b$ примет вид:

$\log_{a}{x} = \frac{\log_{b}{x}}{\log_{b}{a}}.$

Таким образом,

$\log_{4}{2}=\frac{\log_{2}{2}}{\log_{2}{4}}=\frac{1}{2}.$

Для любого $a>0, \ a \neq 1$, любых положительных $x$ и $y$ и любого действительного $p$ справедливы формулы:

Первое свойство:

$\log_{a}{1} = 0$.

Воспользуемся определением логарифма:

$a^{0} = 1 \equiv 1.$

Второе свойство:

$\log_{a}{a} = 1$.

Воспользуемся определением логарифма:

$a^{1} = a \equiv a.$

Третье свойство:

$\log_{a}{x \cdot y} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y}$.

По основному логарифмическому свойству,

$x = a^{\log_{a}{x}}, \ y = a^{\log_{a}{y}}.$

$x \cdot y = a^{\log_{a}{x}} \cdot a^{\log_{a}{y}} = a^{\log_{a}{x} + \log_{a}{y}}.$

Возьмём логарифм по основанию $a$ от левой и правой части, получим:

$\log_{a}{x \cdot y} = \log_{a}{a^{\log_{a}{x} + \log_{a}{y}}} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y}.$

Четвёртое свойство:

$\log_{a}{\frac{x}{y}} = \log_{a}{x} – \log_{a}{y}$.

$\log_{a}{\frac{x}{y}} = \log_{a}{x \cdot y^{-1}} = $

По третьему свойству, получим:

$= \log_{a}{x} + \log_{a}{y^{-1}} = $

По пятому свойству, будем иметь:

$=\log_{a}{x} + (-1) \cdot \log_{a}{y} = \log_{a}{x} – \log_{a}{y}.$

Пятое свойство:

$\log_{a}{x^{p}} = p \cdot \log_{a}{x}$.

Используя основное логарифмическое свойство перепишем $x$ в виде

$x = a^{\log_{a}{x}}.$

Возведём левую и правую часть в степень $p$.

$x^{p} = \left(a^{\log_{a}{x}}\right)^{p} = a^{p \cdot \log_{a}{x}}.$

Возьмём логарифм по основанию $a$ от левой и правой части, получим:

$\log_{a}{x^{p}} = \log_{a}{a^{p \cdot \log_{a}{x}}} = p \cdot \log_{a}{x}.$

Шестое свойство:

$\log_{a^{p}}{x} = \frac{1}{p} \cdot \log_{a}{x}$.

Перейдём от основания $a^{p}$ к основанию $a$ с помощью формулы перехода.

$\log_{a^{p}}{x} = \frac{\log_{a}{x}}{\log_{a}{a^{p}}} =$

По пятому свойству, получим:

$= \frac{\log_{a}{x}}{p \cdot \log_{a}{a}} = $

По второму свойству, будем иметь:

$= \frac{\log\limits_{a}{x}}{p}.$