Параллельные переносы по координатным осям

Перед вами вторая статья из цикла "Геометрические преобразования графиков функций".

1. Параллельный перенос по оси \(Ox\) на \(|a|\) единиц.

Правило:

Чтобы построить график функции \(y=f(x + a)\), необходимо каждую точку графика функции \(y=f(x)\) сместить влево (если \(a>0\)) или вправо (если \(a<0\)) по оси \(Ox\) на \(|a|\) единиц.

Рассмотрим это преобразование на примерах.

1. \(y=(x+4)^2\)

Прообразом этой функции будет \(y_0=x^2\).

\(a=4>0 \Rightarrow\) происходит параллельный перенос на \(4\) единицы влево.

Рассмотрим ключевые точки функции: \((-1;1), \ (0;0), \ (1;1)\). Координата по \(x\) каждой точки смещается на 4 влево. То есть, наши ключевые точки переходят в точки \((-5;1), \ (-4;0), \ (-3;1)\).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Ох. Пример 1.

2. \(y=\sqrt{x-3}\)

Прообразом этой функции будет \(y_0=\sqrt{x}\).

\(a=-3<0 \Rightarrow\) происходит параллельный перенос на \(3\) единицы вправо.

Рассмотрим ключевые точки функции: \((0;0), \ (1;1), \ (4;2)\). Координата по \(x\) каждой точки смещается на 3 вправо. То есть, наши ключевые точки переходят в точки \((3;0), \ (4;1), \ (7;2)\).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Ох. Пример 2.

3. \(y=\sin{x-\frac{\pi}{4}}\)

Прообразом этой функции будет \(y_0=\sin{x}\).

\(a=-\frac{\pi}{4}<0 \Rightarrow\) происходит параллельный перенос на \(\frac{\pi}{4}\) единицы вправо.

Рассмотрим ключевые точки функции:

\((-2\pi; 0), \ \left(-\frac{3\pi}{2}; 1\right), \ (-\pi;0), \left(-\frac{\pi}{2}; -1\right), \ (0;0), \ \left(\frac{\pi}{2}; 1\right), \ (\pi; 0), \ \left(\frac{3\pi}{2}; -1\right), \ (2\pi; 0)\)

Координата по \(x\) каждой точки смещается на \(\frac{\pi}{4}\) вправо. То есть, наши ключевые точки переходят в точки

\((-\frac{7\pi}{4}; 0), \ \left(-\frac{5\pi}{4}; 1\right), \ \left(-\frac{3\pi}{4};0\right), \left(-\frac{\pi}{4}; -1\right), \ \left(\frac{\pi}{4};0\right), \ \left(\frac{3\pi}{4}; 1\right), \ \left(\frac{5\pi}{4}; 0\right), \ \left(\frac{7\pi}{4}; -1\right), \ \left(\frac{9\pi}{4}; 0\right)\).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Ох. Пример 3.

2. Параллельный перенос по оси \(Oy\) на \(|b|\) единиц.

Правило:

Чтобы построить график функции \(y=f(x) + b\), необходимо каждую точку графика функции \(y=f(x)\) поднять вверх (если\(b>0\)) или опустить вниз (если \(b<0\)) по оси \(Oy\) на \(|b|\) единиц.

Рассмотрим это преобразование на примерах.

1. \(y=x^2-3\)

Прообразом этой функции будет \(y_0=x^2\).

\(b=-3<0 \Rightarrow\) происходит параллельный перенос на \(3\) единицы вниз.

Рассмотрим ключевые точки функции: \((-1;1), \ (0;0), \ (1;1)\). Координата по \(y\) каждой точки смещается на 3 вниз. То есть, наши ключевые точки переходят в точки \((-1;-2), \ (0;-3), \ (1;-2)\).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Оy. Пример 1.

2. \(y=\sqrt{x}+2\)

Прообразом этой функции будет \(y_0=\sqrt{x}\).

\(b=2>0 \Rightarrow\) происходит параллельный перенос на \(2\) единицы вверх.

Рассмотрим ключевые точки функции: \((0;0), \ (1;1), \ (4;2)\). Координата по \(y\) каждой точки смещается на 2 вверх. То есть, наши ключевые точки переходят в точки \((0;2), \ (1;3), \ (4;4)\).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Оy. Пример 2.

3. \(y=\sin{x}+1\)

Прообразом этой функции будет \(y_0=\sin{x}\).

\(b=1>0 \Rightarrow\) происходит параллельный перенос на 1 единицу вверх.

Рассмотрим ключевые точки функции:

\((-2\pi; 0), \ \left(-\frac{3\pi}{2}; 1\right), \ (-\pi;0), \left(-\frac{\pi}{2}; -1\right), \ (0;0), \ \left(\frac{\pi}{2}; 1\right), \ (\pi; 0), \ \left(\frac{3\pi}{2}; -1\right), \ (2\pi; 0)\)

Координата по \(y\) каждой точки смещается на 1 вверх. То есть, наши ключевые точки переходят в точки

\((-2\pi; 1), \ \left(-\frac{3\pi}{2}; 2\right), \ (-\pi;1), \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right), \ (0;1), \ \left(\frac{\pi}{2}; 2\right), \ (\pi; 1), \ \left(\frac{3\pi}{2}; 0\right), \ (2\pi; 1)\).

Геометрические преобразования. Параллельный перенос по Оy. Пример 3.

Оставьте комментарий

два × пять =