Разбираем неопределённый интеграл (часть I – теоретическая)

Содержание

Пролог
Понятие о первообразной функции
Понятие о неопределённом интеграле
Таблица интегралов
Основные свойства неопределённых интегралов
…Первое свойство
…Второе свойство
…Третье свойство


Пролог.

Многие задачи в математике (и физике) решаются с помощью производных функций. Например, если известен закон  прямолинейного движения материальной точки $s(t)$, то мы можем найти скорость как производную $s(t)$, т.е. $v(t)=s'(t)$. Нередко бывают ситуации в физике, когда нам известна скорость, а требуется найти закон, по которому движется материальная точка. Чтобы решить подобную задачу, для операции дифференцирования придумали обратную операцию – интегрирование.

Однако, прежде чем давать понятие интеграла, надо рассмотреть понятие первообразной функции.

Понятие о первообразной функции.

Дифференцируемая функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ на некотором множестве, если для любого $x$ из данного множества выполняется равенство:

$F'(x)=f(x).$

Например, функция $F(x)=\frac{x^{2}}{2} + C$ будет первообразной для функции $f(x)=x$. В этом легко убедиться:

$F'(x)=\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right)’=\frac{2x}{2} + (C)’=x+0=x=f(x).$

Причём здесь С? Притом, что наряду с функцией $F(x)$, функция $F(x) + C$, где $C$ – const, является первообразной для функции $f(x)$.

Понятие о неопределённом интеграле.

Зная о первообразной, неопределённый интеграл определить очень просто: совокупность всех первообразных $F(x)+C$ функции $f(x)$ и будет неопределённым интегралом, который обозначается $\int{f(x)dx}$, где $\int$ называется знаком интеграла, $f(x)dx$ – подынтегральным выражением, $f(x)$ – подынтегральной функцией, $dx$ – дифференциал интегрируемой функции / переменной.

Из определения следует формула: если $F(x)$ – какая-либо первообразная функции $f(x)$, то

$\int{f(x)dx}=F(x)+C.$

Ещё одно понятие, интегрирование функции – это операция нахождения интеграла.

Таблица интегралов.

Как и для производных, для основных интегралов уже посчитаны значения.

Функция, $f(x)$Интеграл, $\int{f(x)dx}$, $C$ – const
$1$$x+C$
$k,\ k=const$$kx+C$
$x^{n}, \ n\neq-1$$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$$2\sqrt{x}+C$
$\sin{x}$$-\cos{x}+C$
$\cos{x}$$\sin{x}+C$
$\frac{1}{\cos^{2}{x}}$$\rm{tg}{x}+C$
$\frac{1}{\sin^{2}{x}}$$-\rm{ctg}{x}+C$

Основные свойства неопределённых интегралов.

Основное свойство неопределённого интеграла:

$\left(\int{f(x)dx}\right)’=f(x).$

Первое свойство: Если $k$ – const, то

$\int{kf(x)dx}=k\int{f(x)dx}.$

Иными словами, постоянную можно выносить за знак интеграла.

Второе свойство: Если $f(x)$ и $g(x)$ – интегрируемые функции, то

$\int{\left(f(x) \ \pm \ g(x)\right)dx}=\int{f(x)dx} \ \pm \ \int{g(x)dx}.$

Иными словами, интеграл от суммы (разности) двух интегрируемых функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций.

Данное свойство можно расширить на конечное число интегрируемых функций.

Третье свойство: Если $F(x)$ – первообразная функции $f(x)$, а $k$ и $b$ – const, причём $k \neq 0$, тогда

$\int{f(kx+b)dx}= \frac{1}{k}F(kx+b)+C.$