Понятие о тригонометрическом уравнении. Простейшие тригонометрические уравнения.

Содержание

  1. Понятие о тригонометрическом уравнении.
  2. Простейшие тригонометрические уравнения.
  3. Таблица решений простейших тригонометрических уравнений.
  4. Ограничения тригонометрических уравнений.

Понятие о тригонометрическом уравнении.

Определение.

Уравнение называется тригонометрическим, если в нём содержится любая тригонометрическая функция.

Например, уравнения $\sin{x} – 1 = 0$, $1-2\cos{x}=4$ и $\sqrt{3}\sin{x}-2\cos{x}=0$ тригонометрические, а $2-x=0$ – нет.

В силу того, что тригонометрическая функция периодична, тригонометрические уравнения имеют множество решений или не имеют их вообще.

Определение.

Под решением тригонометрического уравнения понимается такой набор чисел $x$, который при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Существуют 2 основных способа решения тригонометрических уравнений:

  • графический способ, который заключается в том, что строятся графики левой и правой части уравнения и ищутся точки их пересечения;
  • аналитический способ, суть которого заключается в применении специальных формул.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Определение.

Под простейшими тригонометрическими уравнениями мы будем понимать тригонометрические уравнения, в левую часть которых входит только либо синус, либо косинус, а в правую – одно из чисел: $-1; \ 0; \ 1$.

Решим несколько простейших тригонометрических уравнений.

1. $\sin{x} = 1$

Начертим два графика: $y=\sin{x}$ и $y=1$

Видим, что количество точек пересечения достаточно велико, а, значит, необходимо выявить закономерность. Так как тригонометрические функции являются периодическими, то все точки, попавшие на 1-ый положительный период, будут периодически повторятся. Рассмотрим решения, попавшие на 1-ый период:

 

Это только одна точка: $\frac{\pi}{2}$. Периодом синуса является $2\pi$, так что получаем ответ:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos{x} = 0$

Начертим два графика: $y=\cos{x}$ и $y=0$

Видим, что количество точек пересечения достаточно велико, а, значит, необходимо выявить закономерность. Так как тригонометрические функции являются периодическими, то все точки, попавшие на 1-ый положительный период, будут периодически повторятся. Рассмотрим решения, попавшие на 1-ый период:

Видим, что получается 2 решения, попадающих «на период»: $x_{1}=\frac{\pi}{2}$ и $x_{2}=\frac{3\pi}{2}$.

Замечание.

Две точки решения получаются только у функций синус и косинус. Так как тангенс и котангенс монотонные (и на периоде в том числе), то они имеют лишь только одну точку пересечения с прямой $y=a$.

Получены два решения:

\(\left\{ \begin{array}{c} x_{1} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \\ x_{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \end{array} \right. \)

которые можно попытаться объединить в одно.

Замечание.

Не все решения можно объединить в одно. Если это невозможно, то в ответ выписываются 2 решения.

Проверим расстояние между всеми точками (обычно достаточно проверить расстояние между 4 точками), чтобы убедиться, что объединение возможно. Несложно увидеть, что в нашем случае оно всегда равно $\pi$. Тогда наши решения объединяются в одно и мы получаем ответ:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$

 

Таблица решений простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение$f(x) = \sin{x}$$f(x) = \cos{x}$
$f(x)=1$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$x =2\pi n$
$f(x)=0$$x = \pi n$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$f(x)=-1$$x = - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$x = \pi + 2\pi n$

Ограничения тригонометрических уравнений.

Очевидно, что тригонометрические функции $\tg$ и $\ctg$ в силу неограниченности по области значений и монотонности всегда имеют одно решение для любого $a$.

А для тригонометрических функций $\sin$ и $\cos$ справедливы следующие утверждения.

Утверждение

Если $|a| > 1$, то не существует  решений тригонометрического уравнения $\sin{x} = a$ или $\cos{x} = a$.

Действительно, так как область значения тригонометрических функций $\sin$ и $\cos$ является отрезком $[-1;1]$, то любая прямая, лежащая выше прямой $y=1$ и ниже прямой $y = -1$, не будет пересекать график тригонометрических функций.

Утверждение

Если $|a| = 1$, то тригонометрические уравнения $\sin{x} = a$ или $\cos{x} = a$ имеют ровно одно решение на полуинтервале $[0;2\pi)$ (далее, периоде).

Действительно, прямая $y=1$ и прямая $y = -1$ пересекают графики тригонометрических функций ровно в одной точке.

Утверждение

Если $|a| < 1$, то тригонометрические уравнения $\sin{x} = a$ или $\cos{x} = a$ имеют ровно два решения на периоде.

Действительно, прямая $y=a$ пересекает графики тригонометрических функций ровно в двух точках.