Решение простейших логарифмических уравнений

Теория.

Для начала рекомендуется ознакомится со статьёй “Логарифм и его свойства“, описывающей теорию про логарифмы.

Уравнение называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.

Например, $\log_{2}{x}=2$, $\log_{3}{x}=1$ и $\log_{\frac{1}{5}}{(x-2)}-5=0$ являются логарифмическими уравнениями.

Логарифмические уравнения решаются с помощью определения логарифма. Но перед решением следует найти область определения логарифма, чтобы в ответе не было “лишних” корней.

Практика.

Решим уравнения:

1. $\log_{2}{x}=2.$

Для начала найдём область определения:

$D(y): \ x>0$

$x \in (0;+\infty)$

С помощью определения получим:

$x = 2^{2},$

$x = 4 \in D(y).$

Ответ: $x = 4.$

2. $\log_{3}{x+1}=4.$

Для начала найдём область определения:

$D(y): \ x+1>0$

$x>-1$

$x \in (-1;+\infty)$

С помощью определения получим:

$x+1 = 3^{4},$

$x+1 = 81,$

$x = 80 \in D(y).$

Ответ: $x = 80.$

3. $\log_{\frac{1}{5}}{(x-2)}-5=0.$

Для начала найдём область определения:

$D(y): \ x-2>0$

$x>2$

$x \in (2;+\infty)$

С помощью определения получим:

$\log_{\frac{1}{5}}{(x-2)}=5,$

$x-2 = \left(\frac{1}{5}\right)^{5},$

$x-2 = \frac{1}{3125},$

$x = 2,00032 \in D(y).$

Ответ: $x = 2,00032.$

4. $\log_{2}{(x^{2}+1)}=\log_{2}{2x}.$

Для начала найдём область определения:

$D(y): \ x^{2}+1>0, \ 2x>0.$

Первое неравенство системы не накладывает никаких ограничений на область определения. Поэтому мы его убираем. Остаётся:

$2x>0.$

Откуда,

$x>0$

и, следовательно,

$x \in (0; + \infty).$

Далее, мы должны представить левую и правую часть в виде логарифма с одинаковым основанием (то есть, как в нашем случае: и в левой, и в правой части стоит логарифм по основанию $2$). Затем мысленно зачёркиваем логарифмы и переходим к неравенству подлогарифмических функций.

$x^{2}+1 = 2x,$

$x^{2} – 2x + 1 = 0,$

$(x-1)^{2} = 0,$

$x – 1 = 0,$

$x = 1 \in D(y).$

Ответ: $x = 1.$

Следующий пример покажет необходимость нахождения области определения:

5. $\log_{3}{(x – 2)}=\log_{3}{(2x-1)}.$

$D(y): \ x-2>0, \ 2x-1>0.$

$x>2, \ x>0,5.$

$x \in (0,5;+\infty)$

Действуем аналогично предыдущему примеру:

$x-2 = 2x-1,$

$x=-1 \notin D(y).$

Таким образом, логарифмы не существуют. А следовательно, $x=-1$ не является решением.

Ответ: нет решений.