Решение простейших логарифмических неравенств

Теория.

Для начала рекомендуется ознакомится со статьёй “Логарифм и его свойства“, описывающей теорию про логарифмы, и статьёй “Решение простейших логарифмических уравнений“, описывающей методы решения логарифмических уравнений.

Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.

Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от методов решений логарифмических уравнений, за исключением двух вещей.

Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства. Он подчиняется следующему правилу.

Если основание логарифмической функции больше $1$, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций знак неравенства сохраняется, а если же меньше $1$, то меняется на противоположный.

Во-вторых, решение любого неравенства – промежуток, а, значит, в конце решения неравенства подлогарифмических функций необходимо составить систему из двух неравенств: первым неравенством этой системы будет неравенство подлогарифмических функций, а вторым – промежуток области определения логарифмических функций, входящих в логарифмическое неравенство.

Практика.

Решим неравенства:

1. $\log_{2}{(x+3)} \geq 3.$

Для начала найдём область определения:

$D(y): \ x+3>0.$

$\ x>-3$

$x \in (-3;+\infty)$

Основание логарифма равно $2>1$, поэтому знак не меняется. Пользуясь определением логарифма, получим:

$x+3 \geq 2^{3},$

$x+3 \geq 8,$

$x \geq 5,$

$x \in [5; + \infty).$

Соединяя полученное решение с областью определения, получим:Решение логарифмического неравенства 1Ответ: $x \in [5; +\infty)$.

2.  $\log_{\frac{1}{3}}{(x-2)} > -2.$

Для начала найдём область определения:

$D(y): \ x-2>0.$

$\ x>2$

$x \in (2;+\infty)$

Основание равно $\frac{1}{3}<1$, а, значит, знак неравенства меняется на противоположный. Получаем:

$x-2<\left(\frac{1}{3}\right)^{-2},$

$x-2<9,$

$x<11,$

$x \in (- \infty; 11).$

Соединяя полученное решение с областью определения, получим:

Решение логарифмического неравенства 2Ответ: $x \in (2; 11).$

Разберём теперь более сложный пример из задания C1 экзамена.

3. $\log_{3}{(2x+1)} \geq \log_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{7-x}\right)}$.

Для начала найдём область определения:

$D(y): \ 2x+1>0, \ \frac{1}{7-x}>0, \ 7-x \neq 0,$

$2x+1>0, \ 7-x>0, \ 7-x \neq 0,$

таким образом, третье неравенство излишне (второе уже не допускает равенства!) , получим:

$x>-0,5, \ x<7,$

$x \in (-0,5;7).$

Преобразуем логарифм, стоящий в правой части, используя пятое и шестое свойство из статьи “Логарифм и его свойства“.

$\log_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{7-x}\right)}=\frac{1}{-1}\log_{3}{\left(\frac{1}{7-x}\right)}=-\log_{3}{\left(\frac{1}{7-x}\right)}=\log_{3}{\left(\frac{1}{7-x}\right)^{-1}}=$

$=\log_{3}{(7-x)}.$

Таким образом, получено следующее неравенство:

$\log_{3}{(2x+1)} \geq \log_{3}{(7-x)}$.

Основание равно $3>1$, а, значит, знак неравенства не меняется. Получаем:

$2x+1 \geq 7-x,$

$3x \geq 6,$

$x \geq 2,$

$x \in [2; +\infty).$

Соединяя полученное решение с областью определения, получаем ответ.

Ответ: $x \in [2; 7).$