Растяжение графика функции по координатным осям

Перед вами третья статья из цикла "Геометрические преобразования графиков функций".

1. Растяжение в \(|k_1|\) раз по оси \(Ox\).

Правило:

Чтобы построить график функции \(y=f(|k_{1}|x)\), необходимо каждому значению функции \(y=f(x)\), вычисленному в точке с абсциссой \(x_{0}\), сопоставить абсциссу \(\frac{x_{0}}{|k_{1}|}\).

Рассмотрим это преобразование на примерах.

1. \(y=\sqrt{2x}\)

Прообразом этой функции будет \(y_0=\sqrt{x}\).

\(|k_1|=2 \neq 1 \Rightarrow\) происходит растяжение в 2 раза по оси \(Ox\).

Рассмотрим ключевые точки функции: \((0;0), \ (1;1), \ (4;2)\).

Сопоставим значению прообраза в каждой ключевой координате абсциссу \(\frac{x_0}{2}\), то есть:

\((0;0) \rightarrow x=\frac{0}{2}=0; y=0 \rightarrow (0;0)\);

\((1;1) \rightarrow x=\frac{1}{2}=0,5; y=1 \rightarrow (0,5;1)\);

\((4;2) \rightarrow x=\frac{4}{2}=2; y=2 \rightarrow (2;2)\).

 То есть, наши ключевые точки переходят в точки \((0;0), \ (0,5;1), \ (2;2)\).

Геометрические преобразования. Растяжение по Оx. Пример 1.

 

2. \(y=\cos{4x}\)

Прообразом этой функции будет \(y_0=\cos{x}\).

\(|k_1|=4 \neq 1 \Rightarrow\) происходит растяжение в 4 раза по оси \(Ox\).

Рассмотрим ключевые точки функции (возьмём ключевые точки первого положительного оборота):

\((0;1), \ \left(\frac{\pi}{2}; 0\right), \ (\pi;-1), \ \left(\frac{3\pi}{2}; 0\right), \ (2\pi; 1)\).

Сопоставим значению прообраза в каждой ключевой координате абсциссу \(\frac{x_0}{2}\), то есть:

\((0;1) \rightarrow x=\frac{0}{4}=0; y=1 \rightarrow (0;1)\);

\(\left(\frac{\pi}{2};0\right) \rightarrow x=\frac{\frac{\pi}{2}}{4}=\frac{\pi}{8}; y=0 \rightarrow \left(\frac{\pi}{8};0\right)\);

\(\left(\pi;-1\right) \rightarrow x=\frac{\pi}{4}; y=-1 \rightarrow \left(\frac{\pi}{4};-1\right)\);

\(\left(\frac{3\pi}{2};0\right) \rightarrow x=\frac{\frac{3\pi}{2}}{4}=\frac{3\pi}{8}; y=0 \rightarrow \left(\frac{3\pi}{8};0\right)\);

\(\left(2\pi;1\right) \rightarrow x=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}; y=1 \rightarrow \left(\frac{\pi}{2};1\right)\).

Таким образом, нашими ключевыми точками становятся точки: \((0;1), \ \left(\frac{\pi}{8};0\right), \ \left(\frac{\pi}{4};-1\right), \ \frac{3\pi}{8} \rightarrow \left(\frac{3\pi}{8};0\right), \ \left(\frac{\pi}{2};1\right)\).

Геометрические преобразования. Растяжение по Оx. Пример 2.

2. Растяжение в \(|k_2|\) раз по оси \(Oy\).

Правило:

Чтобы построить график функции \(y=|k_{2}|f(x)\), необходимо значение функции \(y=f(x)\) в каждой точке умножить на  \(|k_{2}|\) единиц.

Рассмотрим это преобразование на примерах.

1. \(y=2x^2\)

Прообразом этой функции будет \(y_0=x^2\).

\(|k_2|=2 \neq 1 \Rightarrow\) происходит растяжение в 2 раза по оси \(Oy\).

Рассмотрим ключевые точки функции: \((-1;1), \ (0;0), \ (1;1)\).

Значение функции в каждой этой точке умножается на 2, то есть:

\((-1;1) \rightarrow x=-1; y=2 \cdot 1 = 2 \rightarrow (-1;2)\);

\((0;0) \rightarrow x=0; y=2 \cdot 0 = 0 \rightarrow (0;0)\);

\((1;1) \rightarrow x=1; y=2 \cdot 1 = 2 \rightarrow (1;2)\).

Итак, имеем: \((-1;2), \ (0;0), \ (1;2)\).

Геометрические преобразования. Растяжение по Оy. Пример 1.

2. \(y=0,5\sqrt{x}\)

Прообразом этой функции будет \(y_0=\sqrt{x}\).

\(|k_2|=0,5 \neq 1 \Rightarrow\) происходит растяжение в 0,5 раза по оси \(Oy\).

Рассмотрим ключевые точки функции: \((0;0), \ (1;1), \ (4;2)\).

Значение функции в каждой этой точке умножается на 0,5, то есть:

\((0;0) \rightarrow x=0; y=0,5 \cdot 0 = 0 \rightarrow (0;0)\);

\((1;1) \rightarrow x=1; y=0,5 \cdot 1 = 0,5 \rightarrow (1;0,5)\);

\((4;2) \rightarrow x=4; y=0,5 \cdot 2 = 1 \rightarrow (4;1)\).

Итак, имеем:

\((0;0), \ (1;0,5), \ (4;1)\).

Геометрические преобразования. Растяжение по Оy. Пример 2.

3. \(y=3\sin{x}\)

Прообразом этой функции будет \(y_0=\sin{x}\).

\(|k_2|=3 \neq 1 \Rightarrow\) происходит растяжение в 3 раза по оси \(Oy\).

Рассмотрим ключевые точки функции (возьмём ключевые точки первого положительного оборота):

\((0;0), \ \left(\frac{\pi}{2}; 1\right), \ (\pi; 0), \ \left(\frac{3\pi}{2}; -1\right), \ (2\pi; 0)\)

Значение функции в каждой этой точке умножается на 3, то есть:

\((0;0) \rightarrow x=0; y=3 \cdot 0 = 0 \rightarrow (0;0)\);

\(\left(\frac{\pi}{2}; 1\right) \rightarrow x=\frac{\pi}{2}; y=3 \cdot 1 = 3 \rightarrow \left(\frac{\pi}{2}; 3\right)\);

\(\left(\pi; 0\right) \rightarrow x=\pi; y=3 \cdot 0 = 0 \rightarrow \left(\pi; 0\right)\);

\(\left(\frac{3\pi}{2}; -1\right) \rightarrow x=\frac{3\pi}{2}; y=3 \cdot (-1) = -3 \rightarrow \left(\frac{3\pi}{2}; -3\right)\);

\(\left(2\pi; 0\right) \rightarrow x=2\pi; y=3 \cdot 0 = 0 \rightarrow \left(2\pi; 0\right)\).

Итак, имеем:

\((0;0), \ \left(\frac{\pi}{2}; 3\right), \ (\pi; 0), \ \left(\frac{3\pi}{2}; -3\right), \ (2\pi; 0)\)

Геометрические преобразования. Растяжение по Оy. Пример 3.

Замечание:

Как вы уже наверное отметили, при растяжении по оси \(Oy\) есть точки, которые не меняются. Те точки, в которых \(y=0\). Это свойство удобно применять при построении тригонометрических (и любых других периодических) функций.

Оставьте комментарий

11 − 10 =