Одна задачка про корни

Итак, условие: пусть $a=3,125$, $b=0,08$, тогда решите:

$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a^{-\frac{1}{2}}-b^{-\frac{1}{2}}\right)\left(a-b\right)^{-1}$.

Для начала упростим выражение, пользуясь формулами:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}, \ a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$.

Получим:

$\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)}{\left(a-b\right)}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}\right)}{\left(a-b\right)}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}\sqrt{b}\left(a-b\right)}=$

Упрощаем числитель с помощью формулы:

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$.

Будем иметь:

$=\frac{b-a}{\sqrt{ab}\left(a-b\right)}=-\frac{a-b}{\sqrt{ab}\left(a-b\right)}=-\frac{1}{\sqrt{ab}}$.

Подставляя в полученное значения $a$ и $b$, получаем ответ:

$-\frac{1}{\sqrt{ab}}=-\frac{1}{\sqrt{3,125 \cdot 0,08}}=-\frac{1}{\sqrt{0,25}}=-\frac{1}{0,5}=-2$.