Чтобы решить уравнение
$x^{2}=a, \ a=const$
нужно к левой и правой части применить обратную функцию к квадрату — корень. А как же решать уравнение
$\sin{x}=1$?
Очевидно, что существует обратная функция и для синуса. Их называют обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями.
Арксинус.
Определение.
Арксинусом числа $a$ называют такое число $\varphi$ из отрезка $\left[ — \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right]$, что $\sin{\varphi} = a$ и обозначают $\arcsin{a}$.
Из определения следует, что аргумент арксинуса $a$ должен принадлежать отрезку $\left[ -1; 1 \right]$, т.е. $|a| \leq 1$.
Для арксинуса справедливо тождество:
$\arcsin{\left( \sin{\varphi} \right)} = \varphi$.
Например, $\arcsin{1} = \frac{\pi}{2}$. Действительно, $\frac{\pi}{2} \in \left[ — \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right]$ и $\sin{\frac{\pi}{2}} = 1$.
Арккосинус.
Определение.
Арккосинусом числа $a$ называют такое число $\varphi$ из отрезка $\left[ 0 ; \pi \right]$, что $\cos{\varphi} = a$ и обозначают $\arccos{a}$.
Из определения следует, что аргумент арккосинуса $a$ должен принадлежать отрезку $\left[ -1; 1 \right]$, т.е. $|a| \leq 1$.
Для арккосинуса справедливо тождество:
$\arccos{\left( \cos{\varphi} \right)} = \varphi$.
Например, $\arccos{1} = 0$. Действительно, $0 \in \left[ 0; \pi \right]$ и $\cos{0} = 1$.
Арктангенс.
Определение.
Арктангенсом числа $a$ называют такое число $\varphi$ из интервала $\left( — \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right)$, что $\tg{\varphi} = a$ и обозначают $\arctg{a}$.
Для арктангенса справедливо тождество:
$\arctg{\left( \tg{\varphi} \right)} = \varphi$.
Например, $\arctg{1} = \frac{\pi}{4}$. Действительно, $\frac{\pi}{4} \in \left( — \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right)$ и $\tg{\frac{\pi}{4}} = 1$.
Арккотангенс.
Определение.
Арккотангенсом числа $a$ называют такое число $\varphi$ из интервала $\left( 0 ; \pi \right)$, что $\ctg{\varphi} = a$ и обозначают $\arcctg{a}$.
Для арккотангенса справедливо тождество:
$\arcctg{\left( \ctg{\varphi} \right)} = \varphi$.
Например, $\arcctg{1} = \frac{\pi}{4}$. Действительно, $\frac{\pi}{4} \in \left( 0; \pi \right)$ и $\ctg{\frac{\pi}{4}} = 1$.
Таблица значений обратных тригонометрических функций.
Часто используемые тригонометрические значения представлены в таблице, которую вы можете [ddownload id=»633″ text=»скачать здесь»] ([ddownload_filesize id=»633″]).