Содержание
Пролог
Понятие о первообразной функции
Понятие о неопределённом интеграле
Таблица интегралов
Основные свойства неопределённых интегралов
…Первое свойство
…Второе свойство
…Третье свойство
Пролог.
Многие задачи в математике (и физике) решаются с помощью производных функций. Например, если известен закон прямолинейного движения материальной точки $s(t)$, то мы можем найти скорость как производную $s(t)$, т.е. $v(t)=s'(t)$. Нередко бывают ситуации в физике, когда нам известна скорость, а требуется найти закон, по которому движется материальная точка. Чтобы решить подобную задачу, для операции дифференцирования придумали обратную операцию — интегрирование.
Однако, прежде чем давать понятие интеграла, надо рассмотреть понятие первообразной функции.
Понятие о первообразной функции.
Дифференцируемая функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ на некотором множестве, если для любого $x$ из данного множества выполняется равенство:
$F'(x)=f(x).$
Например, функция $F(x)=\frac{x^{2}}{2} + C$ будет первообразной для функции $f(x)=x$. В этом легко убедиться:
$F'(x)=\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right)’=\frac{2x}{2} + (C)’=x+0=x=f(x).$
Причём здесь С? Притом, что наряду с функцией $F(x)$, функция $F(x) + C$, где $C$ — const, является первообразной для функции $f(x)$.
Понятие о неопределённом интеграле.
Зная о первообразной, неопределённый интеграл определить очень просто: совокупность всех первообразных $F(x)+C$ функции $f(x)$ и будет неопределённым интегралом, который обозначается $\int{f(x)dx}$, где $\int$ называется знаком интеграла, $f(x)dx$ — подынтегральным выражением, $f(x)$ — подынтегральной функцией, $dx$ — дифференциал интегрируемой функции / переменной.
Из определения следует формула: если $F(x)$ — какая-либо первообразная функции $f(x)$, то
$\int{f(x)dx}=F(x)+C.$
Ещё одно понятие, интегрирование функции — это операция нахождения интеграла.
Таблица интегралов.
Как и для производных, для основных интегралов уже посчитаны значения.
| Функция, $f(x)$ | Интеграл, $\int{f(x)dx}$, $C$ — const |
|---|---|
| $1$ | $x+C$ |
| $k,\ k=const$ | $kx+C$ |
| $x^{n}, \ n\neq-1$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}+C$ |
| $\sin{x}$ | $-\cos{x}+C$ |
| $\cos{x}$ | $\sin{x}+C$ |
| $\frac{1}{\cos^{2}{x}}$ | $\rm{tg}{x}+C$ |
| $\frac{1}{\sin^{2}{x}}$ | $-\rm{ctg}{x}+C$ |
Основные свойства неопределённых интегралов.
Основное свойство неопределённого интеграла:
$\left(\int{f(x)dx}\right)’=f(x).$
Первое свойство: Если $k$ — const, то
$\int{kf(x)dx}=k\int{f(x)dx}.$
Иными словами, постоянную можно выносить за знак интеграла.
Второе свойство: Если $f(x)$ и $g(x)$ — интегрируемые функции, то
$\int{\left(f(x) \ \pm \ g(x)\right)dx}=\int{f(x)dx} \ \pm \ \int{g(x)dx}.$
Иными словами, интеграл от суммы (разности) двух интегрируемых функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций.
Данное свойство можно расширить на конечное число интегрируемых функций.
Третье свойство: Если $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$, а $k$ и $b$ — const, причём $k \neq 0$, тогда
$\int{f(kx+b)dx}= \frac{1}{k}F(kx+b)+C.$