Решение задачи про касательную, образующую наименьшую площадь

Условие: К графику функции $y=\sqrt{x+2}$ проведена касательная, образующая с осями координат треугольник наименьшей площади. Найдите координаты точки касания.

Решение: Найдём производную:

$y’=\left(\sqrt{x+2}\right)’=\frac{(x+2)’}{2\sqrt{x+2}}=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

Уравнение касательной имеет вид:

$y=y'(x_{0})(x-x_{0})+y(x_{0})$.

$y(x_{0})=\sqrt{x_{0}+2}; \ y'(x_{0})=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.

Таким образом, уравнение касательной имеет вид:

$y=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}+2}}\cdot (x-x_{0})+\sqrt{x_{0}+2}$.

Для дальнейшего нам потребуется вспомнить каноническую запись уравнения прямой в отрезках:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. (*)

Запишем уравнение касательной, как уравнение прямой в отрезках:

$-\frac{x}{2\sqrt{x_{0}+2}}+y=\sqrt{x_{0}+2}-\frac{x_{0}}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.

Упростим в последнем правую часть:

$\sqrt{x_{0}+2}-\frac{x_{0}}{2\sqrt{x_{0}+2}}=\frac{2\sqrt{x_{0}+2} \cdot \sqrt{x_{0}+2} – x_{0}}{2\sqrt{x_{0}+2}}=$

$=\frac{2(x_{0}+2)-x_{0}}{2\sqrt{x_{0}+2}} = \frac{x_{0}+4}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.

Возвращаясь к уравнению касательной, получим:

$-\frac{x}{2\sqrt{x_{0}+2}}+y=\frac{x_{0}+4}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.

Деля последнее на $\frac{x_{0}+4}{2\sqrt{x_{0}+2}}$, получим канонический вид уравнения прямой в отрезках (*):

$\frac{x}{-(x_{0}+4)}+\frac{y}{\frac{x_{0}+4}{2\sqrt{x_{0}+2}}}=1$.

Таким образом, $a=-(x_{0}+4)$, а $b=\frac{x_{0}+4}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.

Рассмотрим треугольник, образованный касательной и осями координат. Он прямоугольный с катетами, равными $a$ и $b$. Найдём его площадь:

$S(x_{0})=\frac{a\cdot b}{2}=-\frac{\left(x_{0}+4\right)^{2}}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.

Найдём производную по $x_{0}$:

$S'(x_{0})=\frac{8(x_{0}+4)\sqrt{x_{0}+2}-\frac{4(x_{0}+2)^{2}}{2\sqrt{x_{0}+2}}}{16(x_{0}+2)}=\frac{\frac{8(x_{0}+4)(x_{0}+2)-2(x_{0}+4)^{2}}{\sqrt{x_{0}+2}}}{16(x_{0}+2)}=$

$=\frac{8(x_{0}^{2}+6x_{0}+8)-2(x_{0}^{2}+8x_{0}+16)}{16(x_{0}+2)\sqrt{x_{0}+2}}=\frac{8x_{0}^{2}+48x_{0}+64-2x_{0}^{2}-16x_{0}-32}{16(x_{0}+2)\sqrt{x_{0}+2}}=$

$=\frac{6x_{0}^{2}+32x_{0}+32}{16(x_{0}+2)\sqrt{x_{0}+2}}$.

Приравняв производную к нулю, получим уравнение:

$\frac{6x_{0}^{2}+32x_{0}+32}{16(x_{0}+2)\sqrt{x_{0}+2}}=0$.

В силу того, что область определения корня даёт ограничение $x_{0}+2 \geq 0$ или $x_{0} \geq 2$, а то, что корень стоит в знаменателе, убирает равенство и имеем промежуток $x_{0}>2$. Знаменатель, с учётом этого ограничения, всегда положителен, т.е. $16(x_{0}+2)\sqrt{x_{0}+2}>0$. Рассмотрим теперь числитель:

$6x_{0}^{2}+32x_{0}+32=0$.

$D=1024-768=256=16^{2}$.

$x_{0_{1,2}}=\frac{-32\pm 16}{12}=\frac{-8 \pm 4}{3}$.

$x_{0_{1}}=\frac{-8 – 4}{3}=\frac{-12}{3}=-4$ – не подходит по ограничению на $x_{0}$.

$x_{0_{2}}=\frac{-8 + 4}{3} = – \frac{4}{3}$.

При переходе через точку $x_{0}=-\frac{4}{3}$ функция $S(x_{0})$ меняет свой знак с «–» на «+», следовательно, $x_{0}=-\frac{4}{3}$ – минимум функции .

$y(x_{0})=\sqrt{-\frac{4}{3}+2}=\sqrt{-\frac{4}{3}+\frac{6}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $\left(-\frac{4}{3};\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$

 
**/ ?>