Условие: К графику функции $y=\sqrt{x+2}$ проведена касательная, образующая с осями координат треугольник наименьшей площади. Найдите координаты точки касания.
Решение: Найдём производную:
$y’=\left(\sqrt{x+2}\right)’=\frac{(x+2)’}{2\sqrt{x+2}}=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.
Уравнение касательной имеет вид:
$y=y'(x_{0})(x-x_{0})+y(x_{0})$.
$y(x_{0})=\sqrt{x_{0}+2}; \ y'(x_{0})=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.
Таким образом, уравнение касательной имеет вид:
$y=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}+2}}\cdot (x-x_{0})+\sqrt{x_{0}+2}$.
Для дальнейшего нам потребуется вспомнить каноническую запись уравнения прямой в отрезках:
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. (*)
Запишем уравнение касательной, как уравнение прямой в отрезках:
$-\frac{x}{2\sqrt{x_{0}+2}}+y=\sqrt{x_{0}+2}-\frac{x_{0}}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.
Упростим в последнем правую часть:
$\sqrt{x_{0}+2}-\frac{x_{0}}{2\sqrt{x_{0}+2}}=\frac{2\sqrt{x_{0}+2} \cdot \sqrt{x_{0}+2} — x_{0}}{2\sqrt{x_{0}+2}}=$
$=\frac{2(x_{0}+2)-x_{0}}{2\sqrt{x_{0}+2}} = \frac{x_{0}+4}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.
Возвращаясь к уравнению касательной, получим:
$-\frac{x}{2\sqrt{x_{0}+2}}+y=\frac{x_{0}+4}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.
Деля последнее на $\frac{x_{0}+4}{2\sqrt{x_{0}+2}}$, получим канонический вид уравнения прямой в отрезках (*):
$\frac{x}{-(x_{0}+4)}+\frac{y}{\frac{x_{0}+4}{2\sqrt{x_{0}+2}}}=1$.
Таким образом, $a=-(x_{0}+4)$, а $b=\frac{x_{0}+4}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.
Рассмотрим треугольник, образованный касательной и осями координат. Он прямоугольный с катетами, равными $a$ и $b$. Найдём его площадь:
$S(x_{0})=\frac{a\cdot b}{2}=-\frac{\left(x_{0}+4\right)^{2}}{2\sqrt{x_{0}+2}}$.
Найдём производную по $x_{0}$:
$S'(x_{0})=\frac{8(x_{0}+4)\sqrt{x_{0}+2}-\frac{4(x_{0}+2)^{2}}{2\sqrt{x_{0}+2}}}{16(x_{0}+2)}=\frac{\frac{8(x_{0}+4)(x_{0}+2)-2(x_{0}+4)^{2}}{\sqrt{x_{0}+2}}}{16(x_{0}+2)}=$
$=\frac{8(x_{0}^{2}+6x_{0}+8)-2(x_{0}^{2}+8x_{0}+16)}{16(x_{0}+2)\sqrt{x_{0}+2}}=\frac{8x_{0}^{2}+48x_{0}+64-2x_{0}^{2}-16x_{0}-32}{16(x_{0}+2)\sqrt{x_{0}+2}}=$
$=\frac{6x_{0}^{2}+32x_{0}+32}{16(x_{0}+2)\sqrt{x_{0}+2}}$.
Приравняв производную к нулю, получим уравнение:
$\frac{6x_{0}^{2}+32x_{0}+32}{16(x_{0}+2)\sqrt{x_{0}+2}}=0$.
В силу того, что область определения корня даёт ограничение $x_{0}+2 \geq 0$ или $x_{0} \geq 2$, а то, что корень стоит в знаменателе, убирает равенство и имеем промежуток $x_{0}>2$. Знаменатель, с учётом этого ограничения, всегда положителен, т.е. $16(x_{0}+2)\sqrt{x_{0}+2}>0$. Рассмотрим теперь числитель:
$6x_{0}^{2}+32x_{0}+32=0$.
$D=1024-768=256=16^{2}$.
$x_{0_{1,2}}=\frac{-32\pm 16}{12}=\frac{-8 \pm 4}{3}$.
$x_{0_{1}}=\frac{-8 — 4}{3}=\frac{-12}{3}=-4$ — не подходит по ограничению на $x_{0}$.
$x_{0_{2}}=\frac{-8 + 4}{3} = — \frac{4}{3}$.
При переходе через точку $x_{0}=-\frac{4}{3}$ функция $S(x_{0})$ меняет свой знак с «–» на «+», следовательно, $x_{0}=-\frac{4}{3}$ – минимум функции .
$y(x_{0})=\sqrt{-\frac{4}{3}+2}=\sqrt{-\frac{4}{3}+\frac{6}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $\left(-\frac{4}{3};\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$