Перед тем, как решать показательное неравенство, я хочу напомнить вам важную формулу:
$\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$
Весь смысл решения показательных неравенств сводится к тому, что нужно левую и правую часть неравенства представить в виде показательной функции с одинаковым основанием (т.е., если слева стоит $2^{…}$, то и справа должно стоять $2^{…}$). Как только мы приходим к такому виду, сразу же мысленно зачёркиваем основания и переходим к степеням. Знак же между степенями подчиняется следующему правилу.
Если основание показательной функции больше 1, то при переходе от показательного неравенства к неравенству степеней знак неравенства сохраняется, а если же меньше 1, то меняется на противоположный.
Дальше получается обычное неравенство, решив которое, мы получим ответ.
Рассмотрим на примерах.
Пример 1. Это самый лёгкий пример. На практике вы его вряд ли встретите, но на нём мы подробно рассмотрим вышеизложенное.
$2^{x} \leq 4$
Давайте посмотрим на правую часть. Очевидно следующее: $4=2^{2}$. Используя это, неравенство перепишется в виде:
$2^{x} \leq 2^{2}$
Итак, слева и справа у нас стоят функции с одинаковым основанием $2$, которое больше $1$. Поэтому мы мысленно зачеркнём $2$ в основании и не меняя знак (основание-то больше $1$), перейдём к следующему неравенству степеней:
$x \leq 2$
Ответ: $x \in (-\infty ; 2]$
Пример 2.
$8^{x} \leq \frac{1}{128}$
$\frac{1}{128}=128^{-1}$
Заметьте, что здесь была применена самая первая формула. А вот далее студенты часто останавливаются. Ведь $128$ не является степенью $8$. Что же делать? В таком случае надо посмотреть что находится с другой стороны неравенства. Часто (а в нами рассматриваемых примерах всегда!) там стоит показательная функция, у которой основание само является степенью какого-то числа. В нашем случае $8$ — это $2^{3}$, поэтому нужно смотреть, является ли $128$ степенью $2$. Да, является. Итак, перепишем (а точнее, допишем) последнее:
$\frac{1}{128}=128^{-1}=\left(2^{7}\right)^{-1}=2^{-7}$
Нельзя забывать, что мы должны изменить и левую часть:
$8^{x}=\left(2^{3}\right)^{x}=2^{3x}$
Подставляем всё в неравенство.
$2^{3x} \leq 2^{-7}$
Основание равно $2$ больше 1, значит знак не меняется.
$3x \leq -7$
$x \leq — \frac{7}{3}$
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{3}]$
Пример 3.
$0,1^{x} \leq 1000$
$1000=10^{3}=\left(\frac{1}{10}\right)^{-3}=0,1^{-3}$
$0,1^{x} \leq 0,1^{-3}$
Основание равно $0,1$ меньше 1, значит знак меняется на противоположный.
$x \geq -3$
Ответ: $x\in [-3; +\infty)$