В предыдущей части мы рассмотрели теоретические аспекты неопределённого интеграла. В этой части мы постараемся разобраться в решении задач.
Итак, при решении задач на неопределённые интегралы, первым делом определяем: дан ли нам табличный интеграл или нет. Как это определить? Очень просто: убираем знак «$\int$» и $dx$ (если после этого числитель в дроби пустой, то ставим вместо $dx \ 1$) и, если в левой части таблицы интегралов вы найдёте такую же функцию, то это табличный интеграл.
ВАЖНО! $\ldots, \ x^{-2}, \ x, \ x^{2}, \ x^{3}, \ \ldots$ в таблице представлены как $x^{n}$.
У нас табличный интеграл. Тогда в ответ выписываем то, что стоит в правой части таблицы интегралов.
Например,
1) $\int{xdx}=$
Это табличный интеграл. В таблице он представлен как $x^{n}$, где в нашем случае $n=1$. Получаем,
$=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C$.
2) $\int{x^{2}dx}=$
Это табличный интеграл. В таблице он представлен как $x^{n}$, где в нашем случае $n=2$. Получаем,
$=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{x^{3}}{3}+C$.
3) $\int{\frac{dx}{x^{2}}}=$
Это табличный интеграл, но, чтобы это увидеть, нам надо с помощью формулы
$\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$
«поднять» $x^{2}$ из знаменателя. Получаем,
$=\int{x^{-2}dx}=$
В таблице этот интеграл представлен как $x^{n}$, где в нашем случае $n=-2$. Получаем,
$=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-x^{-1}+C$.
4) $\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=$
Это табличный интеграл. Действительно, когда мы уберём знак «$\int$» и $dx$ (поставим вместо $dx \ 1$ (так как в числителе не остаётся ничего)), мы получим $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Итак,
$=2\sqrt{x}+C$.
У нас не табличный интеграл. Тогда необходимо использовать свойства интегралов или комбинацию из свойств.
Рассмотрим пример на первое свойство. Итак, если у нас в примере интеграл берётся от числа, умноженного на функцию из таблицы, тогда воспользуемся первым свойством.
1) $\int{2xdx}=$
Вынесем $2$ за интеграл.
$=2\int{xdx}=$
Это табличный интеграл. В таблице он представлен как $x^{n}$, где в нашем случае $n=1$. Получаем,
$=2\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=2\frac{x^{2}}{2}+C=x^{2}+C$.
2) $\int{\frac{x^{3}}{2}dx}=$
$2$ стоит в знаменателе, а, значит, выносить надо $\frac{1}{2}$ за интеграл.
$=\frac{1}{2}\int{x^{3}dx}=$
Это табличный интеграл. В таблице он представлен как $x^{n}$, где в нашем случае $n=3$. Получаем,
$=\frac{1}{2}\frac{x^{3+1}}{3+1}+C=\frac{1}{2}\frac{x^{4}}{4}+C=\frac{x^{4}}{8}+C$.
3) $\int{\frac{5dx}{\sqrt{x}}}=$
Вынесем $5$ за интеграл.
$=5\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=$
Это табличный интеграл. В таблице он представлен как $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Получаем,
$=5 \cdot 2\sqrt{x}+C=10\sqrt{x}+C$.
Рассмотрим пример на второе свойство. Итак, если у нас в примере интеграл берётся от суммы или разности (которая не возводится ни в какую степень!), тогда воспользуемся первым свойством.
1) $\int{(x+1)dx}=$
Разобьём по свойству интеграл на два табличных интеграла.
$=\int{xdx}+\int{1dx}=\frac{x^{1+1}}{1+1}+x+C=\frac{x^{2}}{2}+x+C$.
2) $\int{\left(x^{3}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}=$
Разобьём по свойству интеграл на два табличных интеграла.
$=\int{x^{3}dx}+\int{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}=\frac{x^{3+1}}{3+1}+2\sqrt{x}+C=\frac{x^{4}}{4}+2\sqrt{x}+C$.
3) $\int{(5+x-\sin{x})dx}=$
Разобьём по свойству интеграл на два табличных интеграла.
$=\int{5dx}+\int{xdx}-\int{\sin{x}dx}=5x+\frac{x^{1+1}}{1+1}-(-\cos{x})+C=5x+\frac{x^{2}}{2}+\cos{x}+C$.
Рассмотрим пример на самое сложное из свойств, третье свойство. Итак, если у нас в примере интеграл берётся от функции, которая в свою очередь применяется к линейной функции (линейная функция — функция вида $kx+b$, где $k$ и $b$ — числа), тогда воспользуемся третьим свойством.
1) $\int{\frac{dx}{\sqrt{2x+1}}}=$
Итак, для начала нужно найти линейную функцию. Да, $2x+1$ это и есть наша линейная функция, где $k=2$, а $b=1$. Теперь мысленно заменим её на $x$ и посмотрим, какую функцию мы получили. Это $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Для начала напишем $\frac{1}{k}$
$=\frac{1}{2}\cdot$
Далее, ищем первообразную по таблице для нашей главной функции $\frac{1}{\sqrt{x}}$, но не забываем, что вместо $x$ в этой первообразной мы должны написать нашу линейную функцию, а, именно, $2x+1$. Получаем:
$\cdot 2\sqrt{2x+1}+C=\sqrt{2x+1}+C$.
2) $\int{\cos{\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)}dx}=$
Итак, в нашем случае, $3x-\frac{\pi}{4}$ — наша линейная функция, где $k=3$, а $b=-\frac{\pi}{4}$, а основной функцией будет $\cos{x}$. Получаем,
$=\frac{1}{3} \sin{\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)}+C$.
3) $\int{(3-4x)^{2}dx}=$
Итак, в нашем случае, $3-4x$ — наша линейная функция, где $k=-4$, а $b=3$, а основной функцией будет $x^{2}$. Получаем,
$=\frac{1}{-4} \frac{(3-4x)^{3}}{3}+C=-\frac{(3-4x)^{3}}{12}+C$.
Рассмотрим далее ещё один пример на третье свойство, который студенты очень боятся и часто допускают много ошибок, хотя делать его следует, как и предыдущие.
4) $\int{\frac{dx}{(2x-1)^{2}}}=$
Итак, в нашем случае, $2x-1$ — наша линейная функция, где $k=2$, а $b=-1$, а основной функцией будет $\frac{1}{x^{2}}$, поэтому прежде чем решать данный пример, нужно исходный преобразовать по замечательной формуле. Получаем,
$=\int{(2x-1)^{-2}dx}=$
Теперь основная функция приняла вид $x^{-2}$ и мы можем взять интеграл:
$=\frac{1}{2} \frac{(2x-1)^{-1}}{-1}+C=-\frac{(2x-1)^{-1}}{2}+C$.
Что же делать, если у нас комбинация из свойств? То же самое, что и выше, только применяя свойства по порядку.
Небольшая подсказка от меня: перед тем как брать какой-либо интеграл в сумме (или разности), убедитесь, что вы сможете разом взять все остальные (я в таком случае говорю, довели до кондиции остальные).
Например,
$\int{\left(2-3x+(0,25x+1)^{3}\right)dx}=$
Воспользуемся вторым свойством:
$=\int{2dx}-\int{3xdx}+\int{(0,25x+1)^{3}dx}=$
Первый и третий интеграл мы уже можем посчитать, НО не будем этого делать, пока не доведём до кондиции второй. Для второго интеграла мы применим первое свойство:
$=\int{2dx}-3\int{xdx}+\int{(0,25x+1)^{3}dx}=$
Вот, совсем другая ситуация! Теперь мы можем по таблице вычислить первый и второй интеграл. Для вычисления третьего, нам потребуется третье свойство. У нас $0,25x+1$ — линейная функция при $k=0,25$ и $b=1$, а основная функция — $x^{3}$. Получаем:
$=2x-3\frac{x^{1+1}}{1+1}+\frac{1}{0,25}\frac{(0,25x+1)^{4}}{4}+C=2x-1,5x+(0,25x+1)^{4}+C$.