Теория.
Для начала рекомендуется ознакомится со статьёй «Логарифм и его свойства«, описывающей теорию про логарифмы.
Уравнение называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.
Например, $\log_{2}{x}=2$, $\log_{3}{x}=1$ и $\log_{\frac{1}{5}}{(x-2)}-5=0$ являются логарифмическими уравнениями.
Логарифмические уравнения решаются с помощью определения логарифма. Но перед решением следует найти область определения логарифма, чтобы в ответе не было «лишних» корней.
Практика.
Решим уравнения:
1. $\log_{2}{x}=2.$
Для начала найдём область определения:
$D(y): \ x>0$
$x \in (0;+\infty)$
С помощью определения получим:
$x = 2^{2},$
$x = 4 \in D(y).$
Ответ: $x = 4.$
2. $\log_{3}{x+1}=4.$
Для начала найдём область определения:
$D(y): \ x+1>0$
$x>-1$
$x \in (-1;+\infty)$
С помощью определения получим:
$x+1 = 3^{4},$
$x+1 = 81,$
$x = 80 \in D(y).$
Ответ: $x = 80.$
3. $\log_{\frac{1}{5}}{(x-2)}-5=0.$
Для начала найдём область определения:
$D(y): \ x-2>0$
$x>2$
$x \in (2;+\infty)$
С помощью определения получим:
$\log_{\frac{1}{5}}{(x-2)}=5,$
$x-2 = \left(\frac{1}{5}\right)^{5},$
$x-2 = \frac{1}{3125},$
$x = 2,00032 \in D(y).$
Ответ: $x = 2,00032.$
4. $\log_{2}{(x^{2}+1)}=\log_{2}{2x}.$
Для начала найдём область определения:
$D(y): \ x^{2}+1>0, \ 2x>0.$
Первое неравенство системы не накладывает никаких ограничений на область определения. Поэтому мы его убираем. Остаётся:
$2x>0.$
Откуда,
$x>0$
и, следовательно,
$x \in (0; + \infty).$
Далее, мы должны представить левую и правую часть в виде логарифма с одинаковым основанием (то есть, как в нашем случае: и в левой, и в правой части стоит логарифм по основанию $2$). Затем мысленно зачёркиваем логарифмы и переходим к неравенству подлогарифмических функций.
$x^{2}+1 = 2x,$
$x^{2} — 2x + 1 = 0,$
$(x-1)^{2} = 0,$
$x — 1 = 0,$
$x = 1 \in D(y).$
Ответ: $x = 1.$
Следующий пример покажет необходимость нахождения области определения:
5. $\log_{3}{(x — 2)}=\log_{3}{(2x-1)}.$
$D(y): \ x-2>0, \ 2x-1>0.$
$x>2, \ x>0,5.$
$x \in (0,5;+\infty)$
Действуем аналогично предыдущему примеру:
$x-2 = 2x-1,$
$x=-1 \notin D(y).$
Таким образом, логарифмы не существуют. А следовательно, $x=-1$ не является решением.
Ответ: нет решений.